Програма мінімальних моделей

Програма мінімальних моделей — це частина біраціональної класифікації алгебричних многовидів. Її мета — побудова якомога простішої біраціональної моделі будь-якого комплексного проєктивного многовиду. Предмет ґрунтується на класичній біраціональній геометрії поверхонь, що вивчається італійською школою, і нині перебуває в активному вивченні.

Основні принципи

Основна ідея теорії полягає в спрощенні біраціональної класифікації многовидів шляхом знаходження в кожному класі біраціональної еквівалентності многовиду, «простого, наскільки це можливо». Точне значення цієї фрази розвивається разом з розвитком самої теорії. Спочатку для поверхонь це означало знаходження гладкого многовиду $X$, для якого будь-який біраціональний морфізм $f:X\rightarrow X'$ з гладкою поверхнею $X'$ є ізоморфізмом.

У сучасному формулюванні метою теорії є таке. Припустимо, що дано проєктивний многовид $X$, який, для простоти, є несингулярним. Можливі два варіанти:

• Якщо $X$ має розмірність Кодайри $\kappa (X,K_{X})=-\infty$, ми хочемо знайти многовид $X^{\prime }$, біраціональний до $X$, і морфізм $f:X'\rightarrow Y$ у проєктивний многовид $Y$, такий, що $\mathrm {dim} Y<\mathrm {dim} X^{\prime }$, з антиканонічним класом $-K_{F}$ шару загального вигляду $F$, який є рясним. Такий морфізм називають простором розшарування Фано.
• Якщо $\kappa (X,K_{X})$ не менше від 0, ми хочемо знайти $X'$, біраціональний $X$ з канонічним неф-класом $K_{X^{\prime }}$. У цьому випадку $X'$ є мінімальною моделлю для $X$.

Питання про несингулярності многовидів $X'$ і $X$, наведених вище, є важливим. Виглядає природним сподіватись, що якщо ми починаємо з гладкого $X$, ми завжди знайдемо мінімальну модель або простір розшарування Фано всередині категорії гладких многовидів. Однак це не так, так що стає необхідним розглядати сингулярні многовиди. Сингулярності, що виникають, називають термінальними сингулярностями.

Мінімальні моделі поверхонь

Будь-яка незвідна комплексна алгебрична крива є біраціональною до єдиної гладкої проєктивної кривої, так що теорія для кривих тривіальна. Випадок поверхні спочатку дослідили італійці в кінці XIX — початку XX століття. Теорема про стягування Кастельнуово, по суті, описує процес побудови мінімальної моделі будь-якої гладкої поверхні. Теорема стверджує, що будь-який нетривіальний біраціональний морфізм $f:X\rightarrow Y$повинен стягувати −1-криву в гладку точку, і навпаки, будь-яку таку криву можна гладко стягнути. Тут −1-крива є гладкою раціональною кривою C із самоперетином C.C = −1. Будь-яка така крива повинна мати K.C=−1, що показує, що якщо канонічний клас є неф-класом, то поверхня не має −1-кривих.

З теореми Кастельнуово випливає, що для побудови мінімальної моделі для гладкої поверхні, ми просто стягуємо всі −1-криві на поверхні, і отриманий многовид Y або є (єдиною) мінімальною моделлю з неф-класом K, або лінійчастою поверхнею (яка є такою ж, як і 2-вимірний простір розшарування Фано, і є або проєктивною площиною, або лінійчастою поверхнею над кривою). У другому випадку лінійчаста поверхня, біраціональна до X, не єдина, хоча існує єдина поверхня, ізоморфна добутку проєктивної прямої і кривої.

Мінімальні моделі в просторах високих розмірностей

У розмірностях, більших від 2, залучається потужніша теорія. Зокрема, існують гладкі многовиди $X$, які не біраціональні будь-якому гладкому многовиду $X'$ з канонічним неф-класом. Головне концептуальне просування 1970-х і ранніх 1980-х років — побудова мінімальних моделей залишається можливим з ретельним описом можливих сингулярностей моделей. (Наприклад, ми хочемо зрозуміти, чи є $K_{X'}$ неф-класом, так що число перетинів $K_{X'}{\cdot }C$ має бути визначеним. Отже, принаймні, наші многовиди повинні мати $nK_{X'}$ дивізор Картьє для деякого додатного числа $n$.)

Першим ключовим результатом є теорема про конуси Морі, яка описує структуру конуса кривих $X$. Коротко, теорема показує, що починаючи з $X$, можна за індукцією побудувати послідовність многовидів $X_{i}$, кожен з яких «ближчий», ніж попередній, до неф-класу $K_{X_{i}}$. Однак процес може ускладнитись — у деякій точці многовид $X_{i}$ може стати «занадто сингулярним». Гіпотетичне вирішення цієї проблеми — перебудова^{[уточнити]}, вид хірургії корозмірності 2 на $X_{i}$. Неясно, чи існує необхідна перебудова, або що процес завжди зупиниться (тобто що досягнемо мінімальної моделі $X'$ за скінченне число кроків.) Морі показав, що перебудови існують у 3-вимірному випадку.

Існування загальніших лог-перебудов з'ясував Шокуров для розмірностей три і чотири. Згодом це узагальнили для вищих розмірностей Біркар, Каскіні, Хекон, і Маккернан, спираючись на раніші роботи Шокурова, Хекона і Маккернана. Вони поставили також деякі інші задачі, зокрема узагальнення лог-канонічних кілець та існування мінімальних моделей для лог-многовидів загального вигляду.

Завдання зупинки лог-перебудов у просторах вищої розмірності залишається об'єктом активного дослідження.

Література

• Шокуров В.В. Трехмерные логперестройки // Изв. РАН. — 1992. — Т. 56, вип. 1 (12 травня). — С. 105–203. — (Сер. матем.).
• Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher Hacon, James McKenan. Existence of minimal models for varieties of log general type // Journal of the American Mathematical Society. — 2010. — Т. 23, вип. 2 (12 травня). — С. 405–468. — DOI:10.1090/S0894-0347-09-00649-3.
• Herbert Clemens, János Kollár, Shigefumi Mori. Higher-dimensional complex geometry // Astérisque. — 1988. — Вип. 166 (12 травня). — С. 144. — ISSN 0303-1179.
• Osamu Fujino. New developments in the theory of minimal models // Sugaku. — Mathematical Society of Japan, 2009. — Т. 61, вип. 2 (12 травня). — С. 162–186. — ISSN 0039-470X.
• János Kollár. The structure of algebraic threefolds: an introduction to Mori's program // American Mathematical Society. Bulletin. New Series. — 1987. — Т. 17, вип. 2 (12 травня). — С. 211–273. — ISSN 0002-9904. — DOI:10.1090/S0273-0979-1987-15548-0.
• János Kollár. Minimal models of algebraic threefolds: Mori's program // Astérisque. — 1989. — Вип. 177 (12 травня). — С. 303–326. — ISSN 0303-1179.
• János Kollár. Rational curves on algebraic varieties. — Berlin : Springer-Verlag, 1996. — Т. 32. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]) — ISBN 978-3-642-08219-1. — DOI:10.1007/978-3-662-03276-3.
• János Kollár, Shigefumi Mori. Birational geometry of algebraic varieties. — Cambridge University Press, 1998. — Т. 134. — (Cambridge Tracts in Mathematics) — ISBN 978-0-521-63277-5.
• Kenji Matsuki. Introduction to the Mori program. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 2002. — (Universitext) — ISBN 978-0-387-98465-0.
• Shigefumi Mori. Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds. — Journal of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Т. 1. — С. 117–253. — DOI:10.2307/1990969.
• Yujiro Kawamata. Mori theory of extremal rays // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 1994. — ISBN 978-1-55608-010-4.