Алгебричний многовид

В алгебричній геометрії алгебричний многовид — множина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.

Визначення

Розглядаються чотири види алгебричних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди , проектні многовиди і квазі-проективні многовиди.

Афінні многовиди

Нехай $K\,$ є алгебрично замкнуте поле і $\mathbf A^n$ — n-мірний афінний простір над $K\,$. Многочлени $F \in K [x_1 ,..., x_n]$ можна розглядати як функції з $\mathbf A^n$, зі значеннями в $K\,$. Для кожного $S \subset k[x_1,...,x_n]$ можна визначити підмножину $\mathbf A^n$, в якій значення всіх поліномів з множини $S\,$ рівне нулю:

$Z(S)=\{x\in\mathbf A^n|f(x)=0 \quad \forall f\in S\}$

Підмножина $V\,$, множини $\mathbf A^n$ називається афінною алгебричною множиною, якщо $V = Z(S)\,$ для деякої $S\,$. Непорожня афінна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні афінні алгебричні множини називаються афінними алгебричними многовидами, або просто афінними многовидами.

Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебричні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.

Для $V \subset \mathbf A^n$ нехай $I(V)\,$ — ідеал многочленів, значення яких на множині $V\,$ рівні нулю.

$I(V)=\{f\in k[x_1,...,x_n]|f(x)=0 \quad \forall x \in V\}$

Для будь-якої алгебричної множини $V\,$ координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів по цьому ідеалу.

Проективні многовиди

Нехай $\mathbf P^n$ — n-мірний проективний простір над полем $K\,$. Однорідний многочлен $K[x_0 ,..., x_n]\,$, можна розглядати як функцію $\mathbf P^n$, зі значеннями в $K\,$. Для будь-якого $S \subset \mathbf P^n$ аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:

$Z(S)=\{x\in\mathbf P^n|f(x)=0 \quad \forall f \in S\}$

Підмножина $V$, множини $\mathbf P^n$ називається проективною алгебричною множиною, якщо $V = Z(S)\,$ для деякої $S\,$. Непорожня проективна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні проективні алгебричні множини називаються проективними алгебричними многовидами, або просто проективними многовидами.

Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.

Для $V \subset \mathbf P^n$ Нехай $I(V)\,$ — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині $V\,$ рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебричної множини $V\,$ фактор-кільце по цьому ідеалу називається координатним кільцем.

Основні властивості

• Афінна алгебрична множина $V\,$ є алгебричним многовидом тоді і тільки тоді коли $I(V)\,$ є простим ідеалом.
• Довільна непорожня афінна алгебрична множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебричних многовидів.

Див. також

• Теорема Гільберта про нулі

Посилання

Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій

Література

• Атья М., Макдональд И. (1972). Введение в коммутативную алгебру. Москва: Мир. с. 160. 
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
• David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
• David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.