Теорема Піка

i = 7, b = 8, S = i + b2 − 1 = 10

Трикутник з вершинами в нижній лівій, нижній правій, та верхній правій точках i = 12 та b = 14, відповідно до теореми Піка S = i + b2 − 1 = 18; це підтверджує формулі площі для трикутника 12 × основа × висота = 12 × 9 × 4 = 18.

Див. також теорему в комплексному аналізі див. Лемма Шварца, теорема Шварца—Піка.

Якщо розглянути простий багатокутник, побудований на сітці рівновіддалених точок (тобто точок з цілі координатами), так, що всі вершини багатокутника є точками сітки, теорема Піка дає просту формулу для обчислення площі S цього многокутника, за кількістю i (точок решітки усередині фігури) і кількістю b (точок решітки), розміщених по периметру многокутника:

$S=i+{\frac {b}{2}}-1.$

У наведеному прикладі маємо i = 7 (внутрішніх точок) і b = 8 (граничних точок), так що площа A = 7 + 82 − 1 = 7 + 4 − 1 = 10 квадратних одиниць.

Вищенаведена теорема справедлива лише для простих багатокутників, тобто для тих, які складаються з єдиної непересічної межі, без дірок. Для загального многокутника формула Піка має такий вигляд:

$S=v-{\frac {1}{2}}e_{b}+h-1$

де $v$ - кількість вершин всередині і на межі многокутника, $e_{b}$ - кількість точок решітки на межі многокутника, і $h$ - кількість дірок у многокутнику.

Як приклад розглянемо багатокутник, побудованний за допомогою точок $(0,0),(2,0)$. Він має 3 вершини, 0 отворів і 0 область. Щоб формула працювала, повинно бути 4 ребра. Таким чином, треба просто порахувати кожен край двічі, один раз на кожній стороні.

Результат вперше описав Георг Александр Пік в 1899. Тетраедр Ріва демонструє, що немає аналоги теореми Піка в розмірності три, яка виражає об'єм багатогранника через кількість внутрішніх і граничних точок. Однак є узагальнення для високих розмірностей через многочлени Ерхарта.

Доведення

Розглянемо багатокутник P і трикутник T, що має з P одне спільне ребро. Припустимо, що теорема Піка справедлива як для P, так і для T незалежно один від одного; ми хочемо показати, що це також справедливо для багатокутника PT, отриманого шляхом додавання T до P. Оскільки P і T маю одне спільне ребро, всі граничні точки уздовж цього ребра стають внутрішніми точками, за винятком двох кінцевих точок, які об'єднуються з граничними точками. Отже, якщо $C$ кількість спільних граничних точок, то маємо

$i_{PT}=i_{P}+i_{T}+(c-2)$

і

$b_{PT}=b_{P}+b_{T}-2(c-2)-2.$

З вищезазначеного випливає

$i_{P}+i_{T}=i_{PT}-(c-2)$

і

$b_{P}+b_{T}=b_{PT}+2(c-2)+2.$

Оскільки ми припускаємо виконання теореми і для P і для T, то

${\begin{aligned}S_{PT}&=S_{P}+S_{T}\\&=\left(i_{P}+{\frac {b_{P}}{2}}-1\right)+\left(i_{T}+{\frac {b_{T}}{2}}-1\right)\\&=i_{P}+i_{T}+{\frac {b_{P}+b_{T}}{2}}-2\\&=i_{PT}-(c-2)+{\frac {b_{PT}+2(c-2)+2}{2}}-2\\&=i_{PT}+{\frac {b_{PT}}{2}}-1.\end{aligned}}$

Тому, якщо теорема справедлива для многокутників побудованих з n трикутників, вона справедлива і для многокутників, що побудовані з n + 1трикутника. Добре відомо, що довільний многокутник можна розбити на симплекси триангуляція. Це тривіальний факт у випадку площини. Для завершення доведення методом математична індукція достатньо довести її у випадку трикутників. Перевірку цього випадку здійснюється за допомогою наступних коротких кроків:

• припускаємо, що формула справедлива для будь-якого одиничний квадрат (з вершинами, що мають цілі координати);
• на основі цього виводимо, що формула є справедливою для будь-якого прямокутник зі сторонами парелельними осям;
• отримуємо формулу для прямокутних трикутників, отриманих шляхом розрізання таких прямокутників по діагональ;
• тепер будь-який трикутник можна перетворити на прямокутник, приєднавши такі прямокутні трикутники; оскільки формула виконується для прямокутних трикутників і для прямокутника, вона також буде виконуватися для початкового трикутника.

На останньому кроці застосовується той факт, що якщо теорема справедлива для багатокутника PT і для трикутника T, то це також має місце для багатокутника P; це можна побачити на основі обчислень, які подібні до наведених вище.

Нерівність для опуклих множин

Нехай $C$ — обмежена, опукла область в $\mathbb {R} ^{2}$, не обов'язково замкнена. Тоді

$|L(C)|\leq {\text{площа}}(C)+{\frac {1}{2}}{\text{периметр}}(C)+1$.

де $L(C)$ — це набір точок решітки в $C$, і $|L(C)|$ — їх кількість. Рівність має місце тоді і лише тоді, коли $C$ — замкнений багатокутник решітки. Для доведення розглянемо опуклий оболонку ${\bar {C}}$ для $L(C)$, яку слід розуміти як наближення решітки для області $C$, а потім застосуємо до неї теорему Піка:

${\begin{aligned}|L(C)|=|L({\bar {C}})|&={\text{площа}}({\bar {C}})+{\frac {1}{2}}B({\bar {C}})+1\\&\leq {\text{площа}}({\bar {C}})+{\frac {1}{2}}{\text{периметр}}({\bar {C}})+1\\&\leq {\text{площа}}(C)+{\frac {1}{2}}{\text{периметр}}(C)+1\end{aligned}}$

де $B({\bar {C}})$ — кількість граничних точок ${\bar {C}}$, що дорівнює кількості його ребер, і оскільки кожне ребро має мінімальну довжину 1, то

$B({\bar {C}})\leq {\text{периметр}}({\bar {C}})$

Перехід ${\text{периметр}}({\bar {C}})\leq {\text{периметр}}(C)$ використовує властивість, що між двома вкладеними, опуклими, замкнутими кривими, внутрішня крива буде коротшою на основі прямого застосування формули Крофтона.

Формула залишається справедливою і у виродженому випадку, коли $L(C)$ знаходиться на одній лінії. Потрібно просто порахувати кожен ребро двічі (по одному разу з кожної сторони).

Див. також

• Цілі точки в опуклих багатогранниках
• довгомір Штайнгауза
• Послідовність Фарі