Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Подстраница "Користувач:Галактион/Частково впорядкована множина" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Частково впорядкована множина ". Галактион 13:23, 5 березня 2010 (UTC)
Дополнение к статье "Частково впорядкована множина"
d
⊢
R
i
s
p
a
r
t
i
a
l
o
r
d
e
r
o
n
A
.
↔
R
⊆
A
×
A
∧
R
≠
∅
∧
{\displaystyle ~d\vdash \ R\ \mathrm {is\ partial\ order\ on} \ A.\ \leftrightarrow \ R\subseteq A\times A\quad \land \quad R\neq \varnothing \quad \land }
∀
x
∈
A
(
⟨
x
,
x
⟩
∈
R
)
∧
{\displaystyle ~\forall _{x\ \in \ A}\ (\langle x,x\rangle \in R)\quad \land }
∀
{
x
,
y
}
⊆
A
(
⟨
x
,
y
⟩
∈
R
∧
⟨
y
,
x
⟩
∈
R
→
x
=
y
)
∧
{\displaystyle ~\forall _{\{x,y\}\ \subseteq \ A}\ (\langle x,y\rangle \in R\ \land \ \langle y,x\rangle \in R\ \to \ x=y)\quad \land }
∀
{
x
,
y
,
z
}
⊆
A
(
⟨
x
,
y
⟩
∈
R
∧
⟨
y
,
z
⟩
∈
R
→
⟨
x
,
z
⟩
∈
R
)
{\displaystyle ~\forall _{\{x,y,z\}\ \subseteq \ A}\ (\langle x,y\rangle \in R\ \land \ \langle y,z\rangle \in R\ \ \to \ \langle x,z\rangle \in R)}
Полагая
⟨
x
,
x
⟩
∈
R
⇔
x
R
x
{\displaystyle ~\langle x,x\rangle \in R\ \Leftrightarrow \ xRx}
⟨
x
,
y
⟩
∈
R
⇔
x
R
y
{\displaystyle ~\langle x,y\rangle \in R\ \Leftrightarrow \ xRy}
⟨
y
,
x
⟩
∈
R
⇔
y
R
x
{\displaystyle ~\langle y,x\rangle \in R\ \Leftrightarrow \ yRx}
⟨
y
,
z
⟩
∈
R
⇔
y
R
z
{\displaystyle ~\langle y,z\rangle \in R\ \Leftrightarrow \ yRz}
⟨
x
,
z
⟩
∈
R
⇔
x
R
z
{\displaystyle ~\langle x,z\rangle \in R\ \Leftrightarrow \ xRz}
запишем определение в более привычном виде:
d
⊢
R
i
s
p
a
r
t
i
a
l
o
r
d
e
r
o
n
A
.
↔
R
⊆
A
×
A
∧
R
≠
∅
∧
{\displaystyle ~d\vdash \ R\ \mathrm {is\ partial\ order\ on} \ A.\ \leftrightarrow \ R\subseteq A\times A\quad \land \quad R\neq \varnothing \quad \land }
∀
x
∈
A
(
x
R
x
)
∧
∀
{
x
,
y
}
⊆
A
(
x
R
y
∧
y
R
x
→
x
=
y
)
∧
∀
{
x
,
y
,
z
}
⊆
A
(
x
R
y
∧
y
R
z
→
x
R
z
)
{\displaystyle ~\forall _{x\ \in \ A}\ (xRx)\ \ \land \ \ \forall _{\{x,y\}\ \subseteq \ A}\ (xRy\ \land \ yRx\ \to \ x=y)\ \ \land \ \ \forall _{\{x,y,z\}\ \subseteq \ A}\ (xRy\ \land \ yRz\ \to \ xRz)}
Галактион 10:50, 12 серпня 2009 (UTC)