Лема Гронуолла—Беллмана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лема Гронуолла—Беллманалема про інтегральні (диференціальні) нерівності[1][2]. Використовується для встановлення різноманітних оцінок в теорії звичайних диференціальних рівнянь та стохастичних диференціальних рівнянь. Зокрема, вона використовується при доведені єдиності розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння.

Формулювання[ред.ред. код]

В інтегральній формі.

Нехай

  • \quad u(t) \geqslant 0, \
  • \quad f(t) \geqslant 0, \
  • \quad u(t), f(t) \in C[t_0,\infty),\quad

причому при \quad t \geqslant t_0 \quad виконується нерівність:

u(t) \leqslant c + \int_{t_0}^{t}\, f(\tau) \, u(\tau) \, d\tau, \qquad (1)

де \quad c — деяка додатна константа. Тоді для довільного \quad t \geqslant t_0 \quad виконуєиться оцінка

u(t) \leqslant \, c \, \exp \, \int_{t_0}^{t} \, f(\tau) \, d\tau. \qquad (2)

В диференціальні формі.

Нехай

  • \quad u(t) \in C^1(t_0,\infty), f(t) \in C[t_0,\infty),\quad

причому при \quad t \geqslant t_0 \quad виконується нерівність:

u^\prime(t) \leqslant f(t) u(t), \qquad (1')

Тоді для довільного \quad t \geqslant t_0 \quad виконується оцінка

u(t) \leqslant \, u(t_0)\, \exp \, \int_{t_0}^{t} \, f(\tau) \, d\tau. \qquad (2')

Зауваження. В цьому випадку немає жодних припущень на знак функцій  u(t), \, f(t), але вимагається диференційовність функції  u(t) .

Доведення[ред.ред. код]

Із нерівності (1) отримуємо

\frac{u(t)}{ c\ + \ \int_{t_0}^{t} \, f(\tau) \, u(\tau) \, d\tau} \, \leqslant 1,

та

\frac{f(t)u(t)}{c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(\tau) \, u(\tau) \, d\tau }\, \leqslant \, f(t), \qquad (3)

Оскільки

\frac{d}{dt} \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t} f(\tau) \, u(\tau) \, d\tau \bigg] = f(t)u(t),

то, інтегруючи нерівність (3) в межах від \quad t_0 до \quad t, матимемо

\ln \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t}\, f(\tau) \, u(\tau) \, d\tau\bigg] \, - \, \ln c  \, \leqslant \, \int_{t_0}^{t} \, f(\tau) \, u(\tau) \, d\tau.

Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо

u(t)\, \leqslant \, c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(\tau) \, u(\tau) \, d\tau \, \leqslant \, c \, \exp \int_{t_0}^{t} \, f(\tau) \, u(\tau) \, d\tau,

що й треба було довести.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Беллман Р., Теория устойчивости решений диференциальных уравнений, ИЛ, 1954
  2. Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94

Джерела[ред.ред. код]

  1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)