Лема Гронуолла—Беллмана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лема Гронуолла—Беллманалема про інтегральні нерівності[1][2]

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай \quad u(t) \ge 0 \  та \quad f(t) \ge 0 \   \quad t \ge t_0 \quad і \quad u(t), f(t) \in C[t_0,\infty),\quad причому при \quad t \ge t_0 \quad виконується нерівність

u(t) \le c + \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t1) \, dt_1, \qquad (1)

де \quad c — додатна константа. В такому випадку при \quad t \ge t_0 \quad маємо

u(t) \le \, c \, exp \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1. \qquad (2)

Доведення[ред.ред. код]

Із нерівності (1) отримуємо

\frac{u(t)}{ c\ + \ \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1} \, \le 1,

та

\frac{f(t)u(t)}{c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 }\, \le \, f(t), \qquad (3)

Оскільки

\frac{d}{dt} \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t} f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \bigg] = f(t)u(t),

то, інтегруючи нерівність (3) в межах від \quad t_0 до \quad t, матимемо

\ln \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1\bigg] \, - \, \ln c  \, \le \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1.

Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо

u(t)\, \le \, c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \, \le \, c \, \exp \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1,

що й треба було довести.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Беллман Р., Теория устойчивости решений диференциальных уравнений, ИЛ, 1954
  2. Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94

Джерела[ред.ред. код]

  1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)