Лема Гронуолла—Беллмана

Лема Гронуолла—Беллмана — лема про інтегральні нерівності

Формулювання

Нехай $\quad u(t) \ge 0 \$ та $\quad f(t) \ge 0 \$  $\quad t \ge t_0 \quad$ і $\quad u(t), f(t) \in C[t_0,\infty),\quad$ причому при $\quad t \ge t_0 \quad$ виконується нерівність

$u(t) \le c + \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t1) \, dt_1, \qquad (1)$

де $\quad c$ — додатна константа. В такому випадку при $\quad t \ge t_0 \quad$ маємо

$u(t) \le \, c \, exp \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1. \qquad (2)$

Доведення

Із нерівності (1) отримуємо

$\frac{u(t)}{ c\ + \ \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1} \, \le 1,$

та

$\frac{f(t)u(t)}{c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 }\, \le \, f(t), \qquad (3)$

Оскільки

$\frac{d}{dt} \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t} f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \bigg] = f(t)u(t),$

то, інтегруючи нерівність (3) в межах від $\quad t_0$ до $\quad t$, матимемо

$\ln \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1\bigg] \, - \, \ln c \, \le \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1.$

Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо

$u(t)\, \le \, c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \, \le \, c \, \exp \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1,$

що й треба було довести.

Джерела

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)