Задача Коші

Задача Коші — одна з основних задач теорії диференціальних рівнянь полягає в пошуку розв'язку (інтеграла) диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам (початковим даним).

Задача Коші зазвичай виникає при аналізі процесів, обумовлених диференціальним законом і початковим станом, математичним виразом яких і є рівняння та початкова умова (звідси й термінологія та вибір позначень: початкові дані задаються при $t=0$, а розв'язок знаходиться при $t>0$).

Від крайових задач задача Коші відрізняється тим, що область, в якій повинен бути визначений шуканий розв'язок, тут заздалегідь не вказується. Проте, задачу Коші можна розглядати як одну з крайових задач.

Основні питання, що позв'язані з задачею Коші, такі:

1. Чи існує (хоч би локально) розв'язок задачі Коші?
2. Якщо розв'язок існує, то яка область його існування?
3. Чи існує єдиний розв'язок?
4. Якщо розв'язок єдиний, то чи буде він коректним, тобто неперервним (в якому-небудь сенсі) щодо початкових даних?

Різні постановки задачі Коші

• Звичайне диференціальне рівняння першого порядку, розвязане відносно похідної:
  

$\left\{\begin{array}{lcl}y' &=& f(x,y) \\ y(x_0) &=& y_0\end{array}\right.$

• Система $n$ звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, розв'язана відносно похідних (нормальна система $n$-го порядку):

$\left\{\begin{array}{lcl}y'_1 &=& f_1(x,y_1,\ldots,y_n) \\ & \ldots & \\ y'_n &=& f_n(x,y_1,\ldots,y_n) \\ y_1(x_0) &=& y_{01} \\ & \ldots & \\ y_n(x_0) &=& y_{0n} \end{array}\right\} \iff \left\{\begin{array}{lcl}\mathbf{y}' &=& \mathbf{f}(x,\mathbf{y}) \\ \mathbf{y}(x_0) &=& \mathbf{y_0}\end{array}\right.$

• Звичайне диференціальне рівняння $n$-го порядку, розв'язане відносно старшої похідної :

$\left\{\begin{array}{lcl}y^{(n)} &=& f(x,y,\ldots,y^{(n-1)}) \\ y(x_0) &=& y_{01} \\ & \ldots & \\ y^{(n-1)}(x_0) &=& y_{0n} \end{array}\right\} \iff \left\{\begin{array}{lcl}y'_1 &=& y_2 \quad (=y') \\ & \ldots & \\ y'_{n-1} &=& y_n \quad (=y^{(n-1)}) \\ y'_n &=& f(x,y_1,\ldots,y_n) \\ y_1(x_0) &=& y_{01} \quad (=y(x_0)) \\ & \ldots & \\ y_n(x_0) &=& y_{0n} \quad (=y^{(n-1)}(x_0)) \end{array}\right.$

Див. також

• Теорема Пікара — Лінделефа