Швидкість збіжності

Швидкість збіжності є основною характеристикою чисельних методів розв'язування рівнянь і оптимізації.

Поняття швидкості збіжності

Нехай $\left\{x_{n}\right\}$ — збіжна послідовність наближень деякого алгоритму знаходження кореня рівняння або екстремуму функції $x^{*}$, тоді: Кажуть, що метод має лінійну збіжність, якщо $\exists \alpha \in (0,\;1):\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||$.

Кажуть, що метод має збіжність степеня $\beta$, якщо $\exists \alpha \in (0,\;1]:\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta }$.

Відзначимо, що зазвичай швидкість збіжності методів не перевищує квадратичної. У рідкісних випадках метод може мати кубічну швидкість збіжності (метод Чебишова).

Практичне визначення

Нехай $\left\{x_{n}\right\}$ — послідовність наближень розглянутого алгоритму знаходження кореня $x^{*}$ деякого рівняння, тоді швидкість збіжності $\beta$ визначають з рівняння:

$||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta }$

Для спрощення його переписують у вигляді:

$\log ||x_{n}-x^{*}||<\log \alpha +\beta \log ||x_{n-1}-x^{*}||$

Безпосередньо швидкість збіжності оцінюють за тангенсом кута нахилу логарифмічного графіка залежності $||x_{n}-x^{*}||$ від $||x_{n-1}-x^{*}||$.

Література

1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — М. : Мир, 1998.
2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
3. Волков Е. А. Численные методы. — М. : Физматлит, 2003.