Ізоморфізм груп

Ізоморфі́зм груп — бієктивний гомоморфізм груп.

Визначення

Ізоморфізм груп — взаємно однозначне відображення $\phi$ групи $(G,*)$ в групу $(H,\cdot )$ , що зберігає групову операцію, тобто:

\phi \colon G\rightarrow H\colon \quad \phi (x*y)=\phi (x)\cdot \phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G

.

Ізоморфні групи у певному сенсі є еквівалентними.

Група лінійних операторів та група матриць, що відповідають цим операторам за фіксації певного базису, є ізоморфними.

(\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )

через ізоморфізм $f(x)=e^{x}$ (див. експонента).

Автоморфізм групи — ізоморфізм групи $(G,*)$ в себе. Тобто бієкція

\phi \colon G\rightarrow G\colon \quad \phi (x*y)=\phi (x)*\phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G

.

Автоморфізм групи називається внутрішнім, якщо його можна задати як

\exists a\in G\;\;\forall x\in G\colon \quad \phi (x)=a*x*a^{-1}

.

Не внутрішній автоморфізм називають зовнішнім автоморфізмом.

Автоморфізм завжди переводить одиницю групи в себе ж.
Композиція двох автоморфізмів є автоморфізмом. Множина всіх автоморфізмів $G$ , відносно композиції утворює групу — групу автоморфізмів $G$ , позначається — $\operatorname {Aut} (G)$ .
Множина всіх внутрішніх автоморфізмів є нормальною підгрупою в $\operatorname {Aut} (G)$ , і позначається — $\operatorname {Inn} (G)$ .
Фактор-група $\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)$ називається групою зовнішніх автоморфізмів, і позначається — $\operatorname {Out} (G)$ .

(укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.

Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)