У дорослому футболі Абдулазіз Аль-Гейлані дебютував 2014 року в складі клубу «Сур», у якому грав до 2019 року. У 2019 році футболіст перейшов до складу клубу «Ес-Сіб», у складі якого Аль-Гейлані став у 2022 році чемпіоном Оману, володарем Кубка Оману та Суперкубка Оману, а також володарем Кубка АФК. У 2023 році футболіст перейшов до складу клубу «Ан-Нахда» (Ель-Бураймі).
У 2014 році Абдулазіз Аль-Гейлані залучався до посиленого складу молодіжної збірної Оману для участі у футбольному турнірі Азійських ігор. У складі молодіжної збірної грав також у 2018 році. З 2019 року Абдулазіз Аль-Гейлані грає у складі національної збірної Оману, у складі збірної брав участь у кубку Азії з футболу 2023 року. На початок 2024 року зіграв у складі збірної 16 матчів, у яких забитими м'ячами не відзначився.