Гомологічна сфера

Гомологічна сфера — n-вимірний многовид X з гомологіями як у n-вимірної сфери. Тобто

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z), і

H_i(X,Z) = {0} за всіх інших i.

Приклади[ред. | ред. код]

Сфера Пуанкаре
Сфери Бріскорна Σ(p, q, r), тобто перетин малої 5-вимірної сфери з розв'язком рівняння x^p + y^q + z^r = 0 в $\mathbb {C} ^{3}$ за взаємно простих p, q і r. Вони є гомологічними сферами. При цьому Σ(1, 1, 1) гомеоморфне стандартній сфері, а Σ(2, 3, 5) сфері Пуанкаре. Якщо $1/p+1/q+1/r\leq 1$ , то універсальне накриття Σ(p, q, r) гомеоморфне евклідовому простору,

Гомологічна сфера зв'язна.
Фундаментальна група $\Gamma$ гомологічної сфери збігається зі своїм комутатором.
Нехай $n\geqslant 5$ $n\geqslant 5$ . Група $\Gamma$ $\Gamma$ є групою якоїсь n-вимірної гомологічної сфери тоді й лише тоді, коли^[1]:
1. $\Gamma$ скінченно задана;
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ ;
3. $H_{2}(\Gamma )=0$ .
Група $\Gamma$ $\Gamma$ є групою якоїсь 4-вимірної гомологічної сфери, якщо
1. $\Gamma$ задана рівним числом твірних і співвідношень, і
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ .
- Невідомо, чи істинне зворотне.
Зв'язна сума двох гомологічних сфер — це гомологічна сфера.
Згідно з узагальненою гіпотезою Пуанкаре, однозв'язна гомологічна сфера гомеоморфна стандартній сфері.

Раціонально гомологічна сфера визначається аналогічно, але з використанням гомологій з раціональними коефіцієнтами.

↑ Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (Oct., 1969), pp. 67—72