Дилогарифм

Дійсна і уявна частини функції $\mathrm {Li} _{2}(x)$

Дилогарифм — спеціальна функція в математиці, яка позначається $\mathrm {Li} _{2}(z)$ і є окремим випадком полілогарифма $\mathrm {Li} _{n}(z)$ при $n=2$. Дилогарифм визначається як

$\operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j^{2}}}\;.$

Наведене визначення дилогарифма правильне для комплексних значень змінної z. Для дійсних значень z = x у цій функції є розріз уздовж дійсної осі від 1 до $\infty$. Зазвичай значення функції на розрізі визначається так, що уявна частина ділогарифма від'ємна:

$\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}(x)\right]=\left\{0\;\;(x\leq 1);\quad -\pi \ln {x}\;\;(x>1)\right\}$

Функцію $\operatorname {Li} _{2}(z)$ часто називають дилогарифмом Ейлера, на честь Леонарда Ейлера, який розглянув її 1768 року. Іноді дилогарифм називають функцією Спенса (англ. Spence's function) або інтегралом Спенса на честь шотландського математика Вільяма Спенса (William Spence, 1777—1815), який на початку XIX століття досліджував функції, відповідні $-\mathrm {Li} _{2}(-z)$ і $\mathrm {Li} _{2}(1-z)$. Назву «дилогарифм» увів Гілл (C.J. Hill) 1828 року.

Функціональні співвідношення

Для дилогарифма існує низка корисних функціональних співвідношень,

$\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2})$

$\operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}$

$\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-\ln z\;\ln(1-z)$

$\operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {z}{1+z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}{\ln ^{2}(1+z)}$

$\operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-\ln z\ln(1+z)$

$\operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}$

для дійсних $x>1$ ,

$\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\textstyle {\frac {1}{3}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{x}-{\rm {i}}\pi \ln {x}$

Відомі також співвідношення, що містять дві незалежні змінні — наприклад, тотожність Гілла:

$\operatorname {Li} _{2}(xy)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x(1-y)}{1-xy}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y(1-x)}{1-xy}}\right)-\ln \left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)\ln \left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)$

Окремі значення

$\operatorname {Li} _{2}(0)=0$

$\operatorname {Li} _{2}(1)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}$

$\operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}$

$\operatorname {Li} _{2}({\textstyle {\frac {1}{2}}})={\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}$

Використовуючи співвідношення між функціями від x і 1/x, отримуємо

$\operatorname {Li} _{2}(2)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi ^{2}-{\rm {i}}\pi \ln {2}$

Існує також низка результатів для аргументів, пов'язаних з золотим перетином $\phi ={\textstyle {\frac {1}{2}}}(1+{\sqrt {5}})$,

$\operatorname {Li} _{2}(-\phi )=-{\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }$

$\operatorname {Li} _{2}(-\phi ^{-1})=-{\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{\phi }$

$\operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-1})={\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }$

$\operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-2})={\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }$

а також для дилогарифма уявного аргументу,

$\operatorname {Li} _{2}(\pm {\rm {i}})=-{\textstyle {\frac {1}{48}}}\pi ^{2}\pm {\rm {i}}G$

де G — стала Каталана.

Співвідношення для окремих значень

$\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}$

$\operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+\ln {2}\;\ln {3}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\ln ^{2}{3}$

$\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+2\ln {2}\;\ln {3}-2\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {2}{3}}}\ln ^{2}{3}$

$\operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}$

$\operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}\!\left({\textstyle {\frac {9}{8}}}\right)$

$36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{64}}}\right)={\pi }^{2}$

Функції, пов'язані з дилогарифмом

• Функція Клаузена $\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

Виникає при розгляді дилогарифма, аргумент якого знаходиться на одиничному колі в комплексній площині,

$\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{4}}}\theta (2\pi -\theta )+{\rm {i}}\;\operatorname {Cl} _{2}(\theta ),\quad (0\leq \theta \leq 2\pi )$

Таким чином,

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(e^{-{\rm {i}}\theta }\right)\right]$

• Функція Лобачевського

Ця функція використовується під час обчислення об'ємів у гіперболічній геометрії, і пов'язана з функцією Клаузена (а отже і з дилогарифмом),

$L(\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |\cos \tau |=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )+\theta \ln {2}$

Іноді використовується інше визначення функції Лобачевського,

$\Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |2\sin \tau |={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )$

• Інтегральний арктангенс $\operatorname {Ti} _{2}(y)$

Виникає під час розгляду дилогарифма уявного аргументу,

$\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\operatorname {Li} _{2}(-y^{2})+{\rm {i}}\;\operatorname {Ti} _{2}(y)$

Таким чином,

$\operatorname {Ti} _{2}(y)=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)-\operatorname {Li} _{2}(-{\rm {i}}y)\right]$

• Функція Лежандра ${\displaystyle {\chi _{2}(z)}}$

Ця функція виражається через дилогарифми як

$\chi _{2}(z)=\sum \limits _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{2j+1}}{(2j+1)^{2}}}={\textstyle {\frac {1}{2}}}\left[\operatorname {Li} _{2}(z)-\operatorname {Li} _{2}(-z)\right]$

Зокрема, $\chi _{2}({\rm {i}}y)={\rm {i}}\operatorname {Ti} _{2}(y)$ .

Посилання

• Leonard Lewin,. Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. MR0105524
• Leonard Lewin,. Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.
• Don Zagier, The dilogarithm function (PDF) [Архівовано 26 березня 2015 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Dilogarithm(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.