Вогрінчич народився 22 березня 1993 року в Касавалле — одному з районів Монтевідео[3]. За походженням — словенець[4]. Його батько, Гільєрмо, колишній професійний футболіст, грав за «Монтевідео Вондерерз»[5]. 2013 року, у віці 20 років, Енцо вступив до багатопрофільної школи драматичного мистецтва Маргарити Ксіргу в Монтевідео[6].
Свою акторську кар'єру Вогрінчич в основному розвивав у театрі[7]. У 2018 році він грав епізодичну роль у фільмі «Дванадцятирічна ніч» і з того часу знімався в кіно[8]. У 2021 році він знявся у фільмі «9», де грав професійного футболіста, натхненного Луїсом Суаресом[9]. Фільм був нагороджений за найкращий міжнародний фільм на 8-й церемонії вручення Британських національних кінопремій[10].
Крім того, Вогрінчич знявся в телесеріалах Prime Video «Йосі, жалкий шпигун» і «Порно і морозиво»[11]. У 2023 році здобув популярність завдяки ролі в трилері про виживання «Снігова спільнота», в основі сценарію якого лежить реальна катастрофа рейса 571 ВПС Уругваю, який розбився в Андах у 1972 році[12]. Тоді було оголошено, що він зіграє Нуму Туркатті, останнього загиблого пасажира[13], і що він буде оповідачем у фільмі[14][15][16].