Закон Пуазейля
Закон Пуазейля | |
Названо на честь | Gotthilf Hagend і Жан-Марі-Луї Пуазейль |
---|---|
Досліджується в | гідравліка і гідродинаміка |
Закон Пуазейля у Вікісховищі |
Зако́н Пуазе́йля — фізичний закон, що встановлює для ламінарної течії зв'язок між середньою швидкістю протікання рідини (або витратою) через капіляр та в'язкістю флюїду у залежності від перепаду тиску:
- ,
де Q — об'єм флюїду, що протікає в одиницю часу (об'ємна витрата) через капіляр радіусом R та довжиною L при різниці тисків на кінцях капіляра , — коефіцієнт динамічної в'язкості.
Формулюється наступним чином:
- Об'ємна витрата рідини, що протікає прямолінійною ділянкою труби з круглим перетином сталого діаметра є прямо пропорційною перепаду тиску і четвертому степеню діаметра (радіуса) труби і обернено пропорційною її довжині.
Закон відкрив у 1838 Жан Марі Луї Пуазейль і, незалежно, в 1839 Ґоттгільф Гаґен.
Рівняння також відоме як закон Гаґена-Пуазейля або рівняння Пуазейля.
Основні допущення[ред. | ред. код]
При отриманні рівняння закону Пуазейля зроблено такі допущення:
- потік є ламінарним і одновимірним (має тільки одну компоненту швидкості) у каналі, що має вигляд прямого кругового циліндра або шару між паралельними площинами (ще має назву «потік Пуазейля»);
- рідина є ідеально в'язкою (ньютонівською) і нестисливою;
- довжина потоку суттєво більша за його поперечний розмір.
Постановка задачі[ред. | ред. код]
Розглядається усталений рух нестисливої рідини з постійною в'язкістю в тонкій циліндричній трубці круглого перерізу під дією постійного перепаду тиску. На основі зроблених вище допущень можна аналітично описати розподіл швидкості у потоці що має параболічний профіль (часто називають «профіль Пуазейля»), а для круглого перерізу розподіл швидкості в залежності від відстані до осі каналу:
де
- — швидкість рідини на відстані r від осі труби;
- — радіус трубопроводу;
- — різниця тисків на вході і на виході з труби;
- — в'язкість рідини;
- — довжина труби.
Такий же профіль (у відповідних позначеннях) має швидкість при протіканні між двома нескінченними паралельними площинами.
Способи отримання рівняння[ред. | ред. код]
Шляхом інтегрування закону розподілу швидкості[ред. | ред. код]
Рівняння закону Пуазейля можна отримати шляхом інтегрування по площі перерізу записаного вище рівняння розподілу швидкості в залежності від радіуса для круглоциліндричної труби:
де
- — витрата рідини у трубопроводі;
- — діаметр трубопроводу.
На основі формули Дарсі-Вейсбаха[ред. | ред. код]
Такий же результат можна отримати з феноменологічної формули Дарсі-Вейсбаха, враховуючи вираз для коефіцієнта гідравлічного тертя записаного через число Рейнольдса Re
де число Рейнольдса
З рівнянь Нав'є-Стокса[ред. | ред. код]
Рівняння Пуазейля можна отримати безпосередньо з рівнянь Нав'є-Стокса в циліндричних координатах, зробивши наступний набір припущень:
- Потік є стаціонарним ().
- Радіальна і вихрова компоненти швидкості рівні нулю ().
- Потік є осесиметричним () і повністю стабілізованим по довжині ().
Тоді друге (рівняння кута повороту) з трьох рівнянь Нав'є-Стокса у циліндричних координатах і рівняння неперервності виконуються автоматично. Перше рівняння (рівняння радіуса) спрощується до , оскільки, тиск є лише функцією осьової координати . Третє рівняння зводиться до вигляду:
- де динамічна в'язкість рідини.
Розв'язок:
З граничних умов при , . За відсутності ковзання на стінці труби при (радіус труби), отримаємо
Таким чином, отримуємо параболічний закон розподілу швидкості:
Максимальна швидкість знаходиться на осі труби ():
Середня швидкість може бути визначена шляхом інтегрування рівняння по площі перерізу:
Знаходимо спад тиску на круглій трубі довжиною , через середню швидкість потоку в трубі та інші параметри. Допустивши, що тиск зменшується лінійно по всій довжині труби, тобто (constant). Підставивши це і вираз для у рівняння для визначення та врахувавши, що , отримаємо
Шляхом незначних перетворень з цього рівняння отрмується рівняння закону Пуазейля.
Електро-гідравлічна аналогія[ред. | ред. код]
Закон Пуазейля є аналогом закону Ома для електричних кіл (V = IR), де перепад тиску ΔP виступає аналогом напруги V а об'ємна витрата потоку Q аналогом струму I. Тоді активний опір трубопроводу довжиною L і діаметром D запишеться як:
Використання[ред. | ред. код]
Закон Пуазейля використовують для визначення в'язкості флюїдів. Закон також відіграє важливу роль в таких розділах фізіології, як гемореологія та гемодинаміка.
Джерела[ред. | ред. код]
- Левицький Б. Ф., Лещій Н. П. Гідравліка. Загальний курс. — Львів: Світ, 1994. — 264с. ISBN 5-7773-0158-4
- Константінов Ю. М., Гіжа О. О. Технічна механіка рідини і газу: Підручник. — К.: Вища школа, 2002. — 277с.:іл. ISBN 966-642-093-7
- Кулінченко В. Р. Гідравліка, гідравлічні машини і гідропривід: Підручник.-Київ: Фірма «Інкос», Центр навчальної літератури, 2006. — 616с. ISBN 966-8347-38-2
- Колчунов В. І. Теоретична та прикладна гідромеханіка: Навч. Посібник. — К.:НАУ, 2004. — 336с. ISBN 966-598-174-9