Класифікатор підоб'єктів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У теорії категорій, класифікатор підоб'єктів — спеціальний об'єкт Ω категорії; інтуїтивно, підоб'єкти X відповідають морфізму з X в Ω. Спосіб, у який він «класифікує» об'єкти, можна описати як присвоєння деяким елементам X значення «істина».

Вступний приклад

[ред. | ред. код]

У категорії множин класифікатором підоб'єктів є множина Ω = {0,1}: кожній підмножині A довільної множини S можна зіставити її характеристичну функцію — функцію з S в Ω, що набуває значення 1 на підмножині A і 0 на її доповненні, і навпаки, будь-яка функція з S в Ω є характеристичною функцією деякої підмножини. Якщо χA — деяка характеристична функція на множині S, така діаграма є декартовим квадратом:

Тут true: {0} → {0, 1} — відображення, що переводить 0 в 1.

Визначення

[ред. | ред. код]

У загальному випадку можна розглянути довільну категорію C, що має термінальний об'єкт, який ми позначатимемо 1. Об'єкт Ω категорії C — класифікатор підоб'єктів C, якщо існує морфізм

1 → Ω

з такою властивістю:

для будь-якого мономорфізму j: UX існує єдиний морфізм j: X → Ω, такий що квадрат

: є декартовим, тобто U — границя діаграми.

Морфізм j називають класифікувальним морфізмом для підоб'єкта, поданого мономорфізмом j.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
  • П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М. : Наука, 1986. — 440 с.