Класифікація електромагнітних полів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У диференціальній геометрії та теоретичній фізиці класифікація електромагнітних полів є точковою класифікацією бівекторів у кожній точці лоренцевого різноманіття.

Теорема про класифікацію

[ред. | ред. код]

Електромагнітне поле в точці p, тобто подія, лоренцевого простору-часу представляє собою дійсний бівектор F = Fab визначений над дотичним простором у p.

Дотичний простір при p ізометричний як дійсний внутрішній простір до E 1,3. Тобто він має таке саме поняття величини та кута вектора, як і простір-час Мінковського. Щоб спростити позначення, ми припустимо, що простір-час є Мінковським простір-часом.

Бівектор F є характеристикою теореми про класифікацію електромагнітних полів по відношенню до метрики Лоренца η = ηab шляхом вивчення та визначення "основних нульових напрямків".

Це означає, що бівектор F ab отримує кососиметричний лінійний оператор Fab = Facηcb визначений зниженням одного показника з метрикою. Він діє на дотичний простір при p на raFabrb. Символ F використовується для позначення бівектора.

Ми згадуємо дихотомію, взяту з зовнішньої алгебри. Бівектор називається простим коли його можна записати як F = v ∧ w, де v, w лінійно незалежні величини. Будь ненульовий бівектор над 4-мірним векторним простором або простий, або може бути записаний як F = v ∧ w + x ∧ y, де v, w, x та y лінійно незалежні. Сформульована таким чином, дихотомія посилається на зовнішню алгебру. Легко бачити, що асоційований кососімметрічний лінійний оператор F a b має ранг 2 в першому випадку і ранг 4 у другому.[1]

Щоб сформулювати теорему кваліфікації електромагнітних полів, ми розглядаємо проблему власних значень для F, тобто завдання пошуку власних значень λ і власних векторів r, що задовольняють рівняння для власних значень

Коса симетрія F означає, що:

  • або власний вектор r є нульовим вектором (тобто η(r,r) = 0 ), або власне значення λ дорівнює нулю, або обидва.

Одномірний підпростір, який породжений нульовим власним вектором, називається головним нульовим напрямком бівектора.

Теорема характеризує можливі головні нульові напрямки бівектора. У ній зазначено, що для будь-якого ненульового бівектора повинен виконуватися один з указаних варіантів:

  • бівектор має один "повторний" головний нульовий напрямок; в даному випадку, сам бівектор вважається нульовим ,
  • бівектор має два різних головних нульових напрямки; у цьому випадку бівектор називається ненульовим.

Зазначимо, що для будь-якого ненульового бівектора два власні значення, пов'язані з двома різними основними нульовими напрямками, мають рівнозначну величину, але протилежний знак, λ = ±ν, тому є три підкласи ненульових бівекторів:

  • космічні : ν = 0
  • часові : ν ≠ 0 і rank F = 2
  • непрості : ν ≠ 0 і rank F = 4 ,

де ранг відноситься до рангу лінійного оператора F. 

Фізичне пояснення

[ред. | ред. код]

Дана алгебраїчна класифікація бівекторів має важливе застосування в релятивістській фізиці : електромагнітне поле представлено кососиметричним полем тензору другого рангу і ми отримуємо алгебраїчну класифікацію електромагнітних полів.

Тензор електромагнітного поля у декартовій діаграмі космічного часу Мінковського має складові

де і компоненти електричного та магнітного полів, виміряні у спокої в наших координатах інерційним спостерігачем. У релятивістській фізиці зручно працювати з геометризованими одиницями, в яких . У теорії відносності метрика Мінковського використовується для підвищення та зниження індексів.

Інваріанти

[ред. | ред. код]

Основні інваріанти електромагнітного поля зазначені нижче:

.

(Основні тому, що кожен інший інваріант можна виразити через ці два. )

Нульове електромагнітне поле характеризується . При цьому електричне та магнітне поля перпендикулярні і мають однакову величину (в геометризованих одиницях). Прикладом нульового поля є плоска електромагнітна хвиля в просторі Мінковського.

Ненульове електромагнітне поле характеризується . У випадку , існує інерційна система відліку в якій електричне або магнітне поле зникає. Їх називають відповідно магнітостатичне або електростатичне поле. Якщо , існує інерційна система, в якій магнітне та електричне поля пропорційні.

Вигнуті лоренцеві різновиди

[ред. | ред. код]

Згадані ситуації стосуються лише простір-часу Мінковського. Якщо ми замінимо "інерційний кадр" вище на поле кадру, на вигнутих колекторах все працює точно так же.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. The rank given here corresponds to that as a linear operator or tensor; the rank as defined for a k-vector is half that given here.

Список літератури

[ред. | ред. код]
  • Landau, Lev D.; Lifshitz, E. M. (1973). The Classical Theory of Fields. New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6.Landau, Lev D.; Lifshitz, E. M. (1973). The Classical Theory of Fields. New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6. Landau, Lev D.; Lifshitz, E. M. (1973). The Classical Theory of Fields. New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6.