Комплексний логарифм
Ко́мплексний логари́фм — аналітична функція, що отримується поширенням дійсного логарифма на всю комплексну площину (крім нуля). Існує кілька еквівалентних способів такого поширення. Має широке застосування в комплексному аналізі. На відміну від дійсного випадку, функція комплексного логарифма багатозначна.
Визначення та властивості[ред. | ред. код]
Для комплексних чисел логарифм можна визначити так само, як і, для дійсних, тобто як обернення показникової функції. На практиці використовують практично лише натуральний комплексний логарифм, основа якого — число Ейлера : зазвичай його позначають .
Натуральний логарифм комплексного числа визначається[1] як розв'язок рівняння |
Інші, еквівалентні цьому, варіанти визначення наведено нижче.
У полі комплексних чисел розв'язок цього рівняння, на відміну дійсного випадку, не визначено однозначно. Наприклад, за тотожністю Ейлера ; однак також . Це пов'язано з тим, що показникова функція вздовж уявної осі є періодичною (з періодом )[2], і нескінченно багато разів набуває тих самих значень. Таким чином, комплексна логарифмічна функція є багатозначною.
Комплексний нуль не має логарифма, оскільки комплексна експонента не набуває нульового значення. Ненульове можна подати в показниковій формі:
- де — довільне ціле число.
Тоді знаходять за формулою[3]:
Тут — дійсний логарифм. Звідси випливає:
Комплексний логарифм існує для будь-якого , і його дійсна частина визначається однозначно, тоді як уявна частина має нескінченно багато значень, що відрізняються на ціле кратне |
З формули видно, що в одного й лише одного зі значень уявна частина перебуває в інтервалі . Це значення називають головним значенням комплексного натурального логарифма[1]. Відповідна (вже однозначна) функція називається головною гілкою логарифма та позначається . Іноді через також позначають значення логарифма, що лежить не на головній гілці. Якщо — дійсне число, то головне значення його логарифма збігається зі звичайним дійсним логарифмом.
З наведеної формули також випливає, що дійсна частина логарифма визначається через компоненти аргументу так:
На малюнку показано, що дійсна частина як функція компонентів центрально-симетрична і залежить лише від відстані до початку координат. Її отримують обертанням графіка дійсного логарифма навколо вертикальної осі. З наближенням до нуля функція прагямує до
Логарифм від'ємного числа знаходять за формулою[3]:
Приклади значень комплексного логарифма[ред. | ред. код]
Наведемо головне значення логарифма () та загальний його вираз () для деяких аргументів:
Слід бути обережним при перетвореннях комплексних логарифмів, враховуючи, що вони багатозначні, і тому з рівності логарифмів будь-яких виразів не випливає рівність цих виразів. Приклад помилкового міркування:
- — очевидна помилка.
Зазначимо, що ліворуч стоїть головне значення логарифма, а праворуч — значення нижчої гілки (). Причина помилки — необережне використання властивості , яке, загалом, має на увазі в комплексному випадку весь нескінченний набір значень логарифма, а не лише головне значення.
Комплексна логарифмічна функція та ріманова поверхня[ред. | ред. код]
У комплексному аналізі замість розгляду багатозначних функцій на комплексній площині прийнято інше рішення: розглядати функцію як однозначну, але визначену не на площині, а на складнішому многовиді, який називають рімановою поверхнею[4]. Комплексна логарифмічна функція також належить до цієї категорії: її образ (див. рисунок) складається з нескінченного числа гілок, закручених у вигляді спіралі. Ця поверхня безперервна і однозв'язна. Єдиний нуль у функції (першого порядку) виходить, коли . Особливі точки: і (точки галуження нескінченного порядку)[5].
У силу однозв'язності ріманова поверхня логарифма є універсальною накривною[6] для комплексної площини без точки .
Аналітичне продовження[ред. | ред. код]
Логарифм комплексного числа також можна визначити як аналітичне продовження дійсного логарифма на всю комплексну площину. Нехай крива починається в одиниці, закінчується в z, не проходить через нуль і не перетинає від'ємної частинини дійсної осі. Тоді головне значення логарифма в кінцевій точці кривої можна визначити за формулою [5]:
Якщо — проста крива (без самоперетинів), то для чисел, що лежать на ній, логарифмічні тотожності можна застосовувати без побоювань, наприклад:
Головна гілка логарифмічної функції неперервна і диференційовна на всій комплексній площині, крім від'ємної частини дійсної осі, на якій уявна частина стрибком змінюється на . Але цей факт є наслідком штучного обмеження уявної частини головного значення інтервалом . Якщо розглянути всі гілки функції, то неперервність є у всіх точках, крім нуля, де функція не визначена. Якщо дозволити кривій перетинати від'ємну частину дійсної осі, то перший такий перетин переносить результат з гілки головного значення на сусідню гілку, а кожен наступний перетин викликає аналогічне зміщення по гілках логарифмічної функції[5] (див. малюнок).
З формули аналітичного продовження випливає, що на будь-якій гілці логарифма[2]:
Для будь-якого кола , що охоплює точку :
Інтеграл береться в додатному напрямку (проти годинникової стрілки). Ця тотожність лежить в основі теорії лишків.
Можна також визначити аналітичне продовження комплексного логарифма за допомогою версій ряду Меркатора, відомих для дійсного випадку:
-
(Ряд 1)
-
(Ряд 2)
Проте з вигляду цих рядів випливає, що в одиниці сума ряду дорівнює нулю, тобто ряд стосується лише до головної гілки багатозначної функції комплексного логарифма. Радіус збіжності обох рядів дорівнює 1.
Зв'язок із оберненими тригонометричними та гіперболічними функціями[ред. | ред. код]
Оскільки комплексні тригонометричні функції пов'язані з експонентою (формула Ейлера), то комплексний логарифм як обернена до експоненти функція пов'язаний із оберненими тригонометричними функціями[7][8]:
Гіперболічні функції на комплексній площині можна розглядати як тригонометричні функції уявного аргументу, тому тут має місце зв'язок із логарифмом[8]:
- — обернений гіперболічний синус
- — обернений гіперболічний косинус
- — обернений гіперболічний тангенс
- — обернений гіперболічний котангенс
Історія[ред. | ред. код]
Перші спроби поширити логарифми на комплексні числа робили на рубежі XVII-XVIII століть Лейбніц і Йоганн Бернуллі, однак створити цілісну теорію їм не вдалося — насамперед з тієї причини, що тоді ще не було чітко визначено поняття логарифма[9]. Дискутували з цього приводу спочатку Лейбніц і Бернуллі, а в середині XVIII століття — д'Аламбер і Ейлер. Бернуллі та Д'Аламбер вважали, що слід визначити , тоді як Лейбніц доводив, що логарифм від'ємного числа — уявне число[9]. Повну теорію логарифмів від'ємних і комплексних чисел опублікував у 1747—1751 роках Ейлер і вона, по суті, нічим не відрізняється від сучасної[10]. Хоча суперечка тривала (д'Аламбер відстоював свою думку і докладно аргументував її в статті своєї «Енциклопедії» та інших працях), підхід Ейлера до кінця XVIII століття набув загального визнання.
У XIX столітті, з розвитком комплексного аналізу, дослідження комплексного логарифма стимулювало нові відкриття. Гаусс 1811 року розробив повну теорію багатозначності логарифмічної функції[11], яка визначається як інтеграл від . Ріман, спираючись на вже відомі факти про цю та аналогічні функції, побудував загальну теорію ріманових поверхонь.
Розробка теорії конформних відображень показала, що меркаторівську проєкцію в картографії, яка виникла ще до відкриття логарифмів (1550), можна описати як комплексний логарифм[12].
Література[ред. | ред. код]
- Теорія логарифмів
- Корн Г., Корн Т. [1] — М. : Наука, 1973. — 720 с. Архівовано з джерела 19 січня 2015
- Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М. : Наука, 1967. — 304 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М. : Наука, 1966. — 680 с.
- Історія логарифмів
- Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М. : Наука, 1972. — Т. III. Архівовано з джерела 24 березня 2017
- Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М. : Наука, 1981. — Т. II.
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ а б Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- ↑ а б Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 520-522..
- ↑ а б Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 623..
- ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 92-94..
- ↑ а б в Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 45-46, 99-100..
- ↑ Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — С. 112. — (Библиотечка Квант, выпуск 21) Архівовано з джерела 2 березня 2022
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 522-526..
- ↑ а б Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 624..
- ↑ а б История математики, том III, 1972, с. 325-328..
- ↑ Рыбников К. А. История математики. В двух томах. — М. : Изд. МГУ, 1963. — Т. II. — С. 27, 230-231.
- ↑ Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций, 1981, с. 122-123.
- ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-2.htm [Архівовано 16 жовтня 2015 у Wayback Machine.] том II. // Геометрия. — М.: Наука, 1987. — 416 с. — С. 159—161