Крива Мура

Крива Мура — фрактальна крива, що заповнює простір і є варіантом кривої Гільберта. Була запропонована в 1900 р. американським математиком Еліакимом Гастінгсом Муром (E.H. Moore).

Властивості

Розмірність Гаусдорфа кривої Мура дорівнює $2$ (її образ є одиничним квадратом, розмірність якого дорівнює 2 при будь-якому визначенні розмірності, а її граф є компактною множиною, гомеоморфною замкнутому одиничному інтервалу з розмірністю Гаусдорфа 2) .

$H_{n}$ є $n$-м наближенням до граничної кривої. Евклідова довжина кривої $H_{n}$ дорівнює $\textstyle 2^{n}-{1 \over 2^{n}}$, тобто росте експоненціально з $n$, в той же час сама крива завжди лишається в межах квадрата з скінченною площею.

Ітерації кривої Мура

Представлення в системі Лінденмаєра

Криву Мура можливо описати в L-системі:

Alphabet: L, R

Constants: F, +, −

Axiom: LFL+F+LFL

Production rules:

L → −RF+LFL+FR−

R → +LF−RFR−FL+

Тут F означає «йдемо вперед», + означає «повертаємо вліво на 90°», а − позначає «поворот направо на 90°».

3D-узагальнення

Крива Мура третього порядку у тривимірному просторі:

Напрями використання

На основі кривої Мура можуть бути реалізовані вібраторні або друковані конструкції фрактальних антен, які за своїми характеристиками досить близькі до антен на основі кривої Гільберта.

Див. також

• Крива Гільберта

Література

• Moore E.H. On certain crinkly curves.– Trans. Amer. Math. Soc. 1900, N1, p. 72 — 90.
• A. Bogomolny. Plane Filling Curves from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. — 2008.