Нехай на площині задана неперервна крива довжини . Розглянемо неперервну функцію , задану в точках дуги . Розіб’ємо криву точками на довільних дуг з довжинами відповідно .
Виберемо на кожній дузі довільну точку і складемо суму:
.
Її називають інтегральною сумою для функції по кривій .
Нехай - найбільша із довжин дуг поділу. Якщо () існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції по довжині кривої , або криволінійним інтегралом І роду від функції по кривій і позначають
або .
Таким чином, за означенням:
.
Теорема про існування криволінійного інтеграла І роду[ред. | ред. код]
Якщо функція неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл І роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.
Властивості криволінійного інтеграла І роду[ред. | ред. код]
. , тобто криволінійний інтеграл І роду не залежить від напрямку інтегрування.
. , тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла.
. , тобто інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.
. , якщо шлях інтегрування розбито на частини і такі, що і та мають єдину спільну точку.
. Якщо для точок кривої виконується нерівність , то
. , де - довжина кривої .
. Якщо функція неперервна на кривій , то на цій кривій знайдеться точка така, що (теорема про середнє).
Обчислення криволінійного інтеграла І роду[ред. | ред. код]
Параметричне задання кривої інтегрування[ред. | ред. код]
Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга в параметричному вигляді:
,
тобто , , є неперервними на . То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій:
Для двовимірного випадку:
Явне задання кривої інтегрування[ред. | ред. код]
Явне задання кривої: , : f x y dl f x y x y x dx
Полярне задання кривої інтегрування[ред. | ред. код]
Нехай в полярній системі координат крива задана функцією
То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій:
Застосування криволінійного інтеграла І роду[ред. | ред. код]
Визначення маси кривої[ред. | ред. код]
Визначення довжини кривої[ред. | ред. код]
Інтеграл
Криволінійний інтеграл
Криволінійний інтеграл II роду