Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Кут паралельності θ, прямі
x
{\displaystyle {\mathcal {x}}}
y
{\displaystyle {\mathcal {y}}}
ℓ
{\displaystyle \ell }
Кут паралельності в геометрії Лобачевського — кут між перпендикуляром до даної прямої і асимптотично паралельною прямою , проведеною з точки, що не лежить на даній прямій.
В евклідовій геометрії кут паралельності завжди прямий.
У геометрії Лобачевського , кут паралельності завжди гострий. На площині Лобачевського з кривиною −1 кут паралельності для точки на відстані
a
{\displaystyle a}
Π
(
a
)
{\displaystyle \Pi (a)}
Π
(
a
)
{\displaystyle \Pi (a)}
a
{\displaystyle a}
lim
a
→
0
Π
(
a
)
=
1
2
⋅
π
и
lim
a
→
∞
Π
(
a
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi \quad {\text{ и }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.}
sin
Π
(
a
)
=
sech
a
=
1
ch
a
=
2
e
a
+
e
−
a
{\displaystyle \sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\operatorname {ch} a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\,}
cos
Π
(
a
)
=
th
a
=
e
a
−
e
−
a
e
a
+
e
−
a
{\displaystyle \cos \Pi (a)=\operatorname {th} a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\,}
t
g
Π
(
a
)
=
csch
a
=
1
sh
a
=
2
e
a
−
e
−
a
{\displaystyle \operatorname {\rm {tg}} \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\operatorname {sh} a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}}
t
g
(
1
2
⋅
Π
(
a
)
)
=
e
−
a
,
{\displaystyle \operatorname {\rm {tg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{-a},}
Π
(
a
)
=
1
2
⋅
π
−
gd
(
a
)
,
{\displaystyle \Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi -\operatorname {gd} (a),}
де
s
h
{\displaystyle \operatorname {\rm {sh}} }
c
h
{\displaystyle \operatorname {\rm {ch}} }
t
h
{\displaystyle \operatorname {\rm {th}} }
s
e
c
h
{\displaystyle \operatorname {\rm {sech}} }
c
s
c
h
{\displaystyle \operatorname {\rm {csch}} }
гіперболічна функція , а
g
d
{\displaystyle \operatorname {\rm {gd}} }
функція Гудермана .
Кут паралельності розглядав Лобачевський [1]
c
t
g
(
1
2
⋅
Π
(
a
)
)
=
e
a
.
{\displaystyle \operatorname {\rm {ctg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{a}.}
↑ Lobachevsky, N. I. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. — Berlin, 1840.
