Лема Віталі про покриття

Зверху початкова сім'я куль. Зеленим виділені кулі, що не перетинаються, синім - всі інші. Нижче та ж діаграма, в якій зелені кулі потроєні - зауважимо, що вони покривають всі сині кулі.

Лема Віталі про покриттях — твердження у комбінаторній геометрії, що широко використовується в теорії міри.

Лема використовується в доведенні теореми Віталі про покриття, але також має самостійний інтерес. Названа на честь італійського математика Джузеппе Віталі.

Формулювання

Скінченна версія

Нехай $B_{1},\ldots ,B_{n}$ — скінченна множина куль, що містяться в d-вимірному евклідовому просторі R^d (або, в більш загальному випадку, в довільному метричному просторі). Тоді існує підмножина $B_{j_{1}},B_{j_{2}},\dots ,B_{j_{m}}$ з цих куль, в якій кулі попарно не перетинаються, і виконується

$B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \ldots \cup 3B_{j_{m}},$

де $3B_{j_{k}}$ позначає кулю з тим же центром, що і у $B_{j_{k}}$, але з втричі більшим радіусом радіусом.

Доведення

Припустимо, що множина куль є непорожньою, тобто n > 0. Нехай $B_{j_{1}}$ буде кулею із найбільшим радіусом. За індукцією, нехай обрано кулі $B_{j_{1}},\dots ,B_{j_{k}}.$ Якщо існують кулі із $B_{1},\dots ,B_{n},$ які не перетинаються із жодною із $B_{j_{1}}\cup B_{j_{2}}\cup \cdots \cup B_{j_{k}}$, то виберемо як $B_{j_{k+1}}$ таку кулю із найбільшим можливим радіусом. Якщо таких куль немає, то приймаємо m := k і завершуємо процес.

Позначимо $X:=\bigcup _{k=1}^{m}3\,B_{j_{k}}$ і доведемо, що $B_{i}\subset X$ для всіх $i=1,2,\dots ,n$. Це твердження є очевидним для $i\in \{j_{1},\dots ,j_{m}\}$. В іншому випадку існує деяке $k\in \{1,\dots ,m\}$ для якого B_i перетинає $B_{j_{k}}$ і радіус кулі $B_{j_{k}}$ є не меншим, ніж B_i. З нерівності трикутника тоді випливає, що $B_{i}\subset 3\,B_{j_{k}}\subset X$, що завершує доведення.

Нескінченна версія

Нехай $\{B_{j}\mid j\in J\}$ — довільна (зліченна або незліченна) множина куль в R^d (або, більш загально, в сепарабельному метричному просторі), для якої

$\sup \,\{\mathrm {rad} (B_{j})\mid j\in J\}<\infty ,$

де $\mathrm {rad} (B_{j})$ позначає радіус кулі B_j. Тоді для будь-якого $k>3$ існує зліченна підмножина

$\{B_{j}\mid j\in J'_{k}\},\quad J'_{k}\subset J,$

куль, що попарно не перетинаються і

$\bigcup _{j\in J}B_{j}\subseteq \bigcup _{j\in J'_{k}}k\,B_{j}.$

Доведення

Нехай F позначає сім'ю всіх куль B_j, j ∈ J у твердженні леми про покриття. Нехай необхідна підсім'я G у F позначається також за допомогою $\{B_{j},j\in J'\}.$

Доведемо більш точне твердження леми. Нехай F є сім'єю невироджених куль у метричному просторі з обмеженим радіусом. Тоді існує підсім'я G така, що кожна куля B у F має непустий перетин із деякою кулею C у G для якої B ⊂ 5 C. Для сепарабельних метричних просторів (наприклад евклідових просторів) до того ж G є не більш, ніж зліченною.

Нехай R є супремумом радіусів куль із F. Розглянемо розбиття F на F_n, n ≥ 0, що складаються із куль B  радіуси яких належать проміжку (2⁻ⁿ⁻¹R, 2⁻ⁿR]. Можна розглянути послідовність сімей куль G_n, де G_n ⊂ F_n. Спершу позначимо H₀ = F₀ і G₀ деяку максимальну сім'ю куль із H₀, що попарно не перетинаються. Для сепарабельного метричного простору очевидно, що G₀ є не більш, ніж зліченною . Припускаючи, що G₀,...,G_n вже визначені, нехай

$\mathbf {H} _{n+1}=\{B\in \mathbf {F} _{n+1}:\ B\cap C=\emptyset ,\ \ \forall C\in \mathbf {G} _{0}\cup \mathbf {G} _{1}\cup \ldots \cup \mathbf {G} _{n}\},$

і нехай G_n+1 є максимальною сім'єю куль із H_n+1, що попарно не перетинаються. Для сепарабельного метричного простору G_n+1 є не більш, ніж зліченною. Тоді підсім'я

$\mathbf {G} :=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbf {G} _{n}$

із F задовольняє вказане точне твердження леми: G є сім'єю куль, що попарно не перетинаються і кожна куля B ∈ F перетинає кулю C ∈ G для якої B ⊂ 5 C. Справді, нехай B належить F_n. Тоді або B  не належить H_n, звідки n > 0 і B має непустий перетин із G₀,...,G_n−1 або B ∈ H_n і з максимальності G_n випливає, що B має непустий перетин із деякою кулею із G_n. У будь-якому випадку B має непустий перетин із кулею C, що належить об'єднанню G₀,...,G_n. Радіус кулі C є більшим 2⁻ⁿ⁻¹R, а радіус B не більшим 2⁻ⁿR, а тому B ⊂ 5 C випливає з нерівності трикутника. Для сепарабельного метричного простору G є зліченною множиною, як зліченне об'єднання зліченних множин.

Зауваження

• У доведенні нескінченної версії у означенні F_n замість 2⁻ⁿ можна використати c⁻ⁿ, c > 1. Тоді замість 5 можна використати константу 1 + 2c. Тобто у твердженні леми про покриття можна замість 5 взяти довільну константу більшу 3.
• У нескінченній версії лема перестає бути вірною, якщо радіуси не є обмеженими: наприклад, це невірно для нескінченної множини куль з цілими додатними радіусами і єдиним центром.
• У найзагальнішому випадку, для довільного метричного простору, вибір максимальної підмножини куль вимагає деякої форми леми Цорна.

Наслідки

• У будь-якому скінченному наборі куль $n$-вимірного евклідового простору, об'єднання яких має об'єм $V$, можна вибрати підмножину куль, що не перетинаються між собою із загальним об'ємом не меншим ${\tfrac {1}{3^{n}}}\cdot V$.
  • Коефіцієнт ${\tfrac {1}{3^{n}}}$ не є оптимальним і оптимальне значення не є відомими.

Література

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992), Measure Theory and Fine Properties of Functions, Studies in Advanced Mathematics, Boca Raton, FL: CRC Press, с. viii+268, ISBN 0-8493-7157-0, MR 1158660, Zbl 0804.28001.
• Falconer, Kenneth J. (1986), The geometry of fractal sets, Cambridge Tracts in Mathematics, т. 85, Cambridge: Cambridge University Press, с. xiv+162, ISBN 0-521-25694-1, MR 0867284, Zbl 0587.28004.
• Lebesgue, Henri (1910), Sur l'intégration des fonctions discontinues, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 27: 361—450, JFM 41.0457.01, архів оригіналу за 21 квітня 2021, процитовано 29 січня 2020
• Natanson, I. P (1955), Theory of functions of a real variable, New York: Frederick Ungar Publishing Co., с. 277, MR 0067952, Zbl 0064.29102.
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). Real analysis. Measure theory, integration, and Hilbert spaces. Princeton Lectures in Analysis, III. Princeton, NJ: Princeton University Press. с. xx+402. ISBN 0-691-11386-6. MR 2129625. Zbl 1081.28001..
• Vitali, Giuseppe (1908) [17 December 1907], Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali, Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (Italian) , 43: 75—92, JFM 39.0101.05.