Локально лінійно зв'язаний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Локально лінійно зв'язаний простіртопологічний простір, в якому для будь-якої точки і будь-якого її околу є менший лінійно зв'язаний відкритий окіл. Іншими словами, для кожної точки знайдеться база околів, що складається з лінійно зв'язаних множин.

Підмножина топологічного простору називається локально лінійно зв'язаною, якщо воно разом зі своєю індукованої топологією утворює локально лінійно зв'язаний простір.

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Локально лінійно зв'язний простір є локально зв'язаним, обернене твердження не є вірним.
  • Зв'язаний, локально лінійно зв'язний простір є лінійно зв'язаним.
  • Відкрита підмножина локально лінійно зв'язаного простору теж є локально лінійно зв'язаним простором.
  • Топологічний простір є локально лінійно зв'язаним тоді і тільки тоді коли для довільної його відкритої підмножини її компоненти лінійної зв'язності є відкритими підмножинами.
  • У локально лінійно зв'язаних просторів поняття компонент зв'язності і компонент лінійної зв'язності є еквівалентними.
  • Більшість основних теорем теорії накриттів, зокрема існування універсального накриття вимагає щоб базовий простір був лінійно зв'язаним, локально лінійно зв'язаним і напівлокально однозв'язним.

Приклади

[ред. | ред. код]
Топологічний гребінь.
  • Евклідів простір зі стандартною топологією є локально лінійно зв'язаним.
  • Простір з топологією, індукованої стандартною топологією дійсної прямої, є локально лінійно зв'язаним, однак не є лінійно зв'язаним.
  • Підмножина евклідової площини з топологією, індукованої стандартною топологією, є, очевидно, лінійно зв'язаним простором, проте не локально лінійно зв'язаним (будь-який відкритий окіл точки не є лінійно зв'язаним).
  • Іншим прикладом простору, що є лінійно зв'язаним але не є локально лінійно зв'язаним є об'єднання графіка функції із дугою,що сполучає точки (1,0) і (0,-1). Будь-який відкритий окіл точки не є лінійно зв'язаним
  • Зліченна множина з кофінітною топологією (замкнутими підмножинами якої є скінченні підмножини весь простір) є локально зв'язаним простором, але не є локально лінійно зв'язаним.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
  • Isadore Singer, John A. Thorpe (1967), Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag ISBN 0-387-90202-3 (англ.)
  • Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863(англ.)