Модулярна лямбда-функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Модулярна лямбда-функція на комплексній площині.

У математиці модулярна лямбда-функція[1] є сильно симетричною голоморфною функцією у верхній півплощині комплексної площини. Вона інваріантна відносно дробово-лінійної дії групи конгруенцій[en] і породжує поле функцій часткового упорядкування, тобто є головною модулярною функцією для модулярної кривої[en] .

У будь-якій точці її значення можна описати як подвійне відношення точок галуження розгалуженого подвійного накриття проективної лінії за допомогою еліптичної кривої , де відображення визначається як відношення за інволюцією [−1].

-розклад, де це ном[en], визначається наступним чином:

OEISA115977

Симетризуючи лямбда-функцію відносно канонічної дії симетричної групи на , а потім відповідним чином нормалізуючи, можна отримати функцію у верхній півплощині, яка інваріантна відносно повної модулярної групи , і це фактично модулярний -інваріант Клейна.

A plot of x→ λ(ix)

Модулярні властивості

[ред. | ред. код]

Функція є інваріантною відносно групи, породженої перетвореннями[2]

Генератори модулярної групи діють за правилом[3]

Отже, дія модулярної групи на функцію є дією ангармонічної групи[en], що визначає шість значень подвійного відношення:[4]

Зв'язок із іншими функціями

[ред. | ред. код]

Модулярна лямбда-функція є квадратом еліптичного модуля,[5] тобто . У термінах ета функції Дедекінда[en] і тета-функції модулярну лямбда-функцію можна представити як[5]

де[6]

Модулярну лямбда-функцію можна записати у термінах півперіодів еліптичних функцій Вейєрштрасса. Нехай  — фундаментальна пара періодів[en] з ,

тоді[5]

Оскільки три значення півперіодів різні, то не набуває значень 0 або 1[5].

Модулярна лямбда-функція пов'язана з -інваріантом наступним чином:[7][8]

,

яка є -інваріантом еліптичної кривої у формі Лежандра[en] .

Модулярні рівняння

[ред. | ред. код]

Модулярне рівняння степеня (де  — просте число) — алгебраїчне рівняння на функції і . Якщо і , то модулярні рівняння степенів відповідно мають вигляд[9]

Змінну (і, отже, ) можна розглядати як голоморфну функцію у верхній півплощині :

Оскільки , то модулярні рівняння можна використовувати для отримання алгебраїчних значень для для будь-якого простого числа .[10]

Алгебраїчні значення для також визначаються за допомогою формул[11][12]

,
,

де  — лемніскатний синус і  — лемніскатна стала.

Лямбда-зірка

[ред. | ред. код]

Означення та обчислення лямбда-зірки

[ред. | ред. код]

Функція [13] (де ) дає значення еліптичного модуля , для якого повний еліптичний інтеграл першого роду і його доповняльний аналог пов'язані таким співвідношенням:

Значення можна обчислити так:

Функції і пов'язані одна з одною за допомогою співвідношення:

.

Властивості лямбда-зірки

[ред. | ред. код]

Будь-яке значення додатного раціонального числа є додатним алгебраїчним числом:

Як довели Селберг і Чоула в 1949 році[14][15], і (повний еліптичний інтеграл другого роду можна представити в замкненій формі в термінах гамма-функції для будь-якого .

Наступне співвідношення справедливе для всіх :

де  — еліптична функція Якобі дельта амплітуди з модулем .

Знаючи одне значення, цю формулу можна використовувати для обчислення пов'язаних значень:[16]

,

де ,  — еліптична функція Якобі синус амплітуди з модулем .

Подальші співвідношення:

Частинні значення

[ред. | ред. код]

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду :

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду :

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду :

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду :

Значення лямбда-зірки для раціональних дробів:

Інваріанти класу Рамануджана

[ред. | ред. код]

Інваріанти класу Рамануджана і визначаються як[17]

де . Для таких інваріанти класу є алгебраїчними числами.

Тотожності з інваріантами класу включають[18]

Інваріанти класів дуже тісно пов'язані з модульними функціями Вебера[en] і . Справедливі наступні співвідношення між лямбда-зіркою та інваріантами класу:

Інші застосування

[ред. | ред. код]

Мала теорема Пікара

[ред. | ред. код]

Лямбда-функція використовується в оригінальному доведенні малої теореми Пікара, що ціла нестала функція на комплексній площині не може пропускати більше одного значення. Ця теорема була доведена Пікаром у 1879 р.[19] Припустимо, якщо можливо, що функція є цілою і не приймає значень 0 і 1. Оскільки функція голоморфна, то вона має локальну голоморфну обернену функцію , що визначена поза 0, 1, . Розглянемо функцію . За теоремою про монодромію[en] функція голоморфна і відображає комплексну площину у верхню півплощину. Звідси можна легко побудувати голоморфну функцію з в одиничний круг, яка за теоремою Ліувіля має бути сталою.[20]

Гіпотеза нісенітниці

[ред. | ред. код]
Докладніше: Monstrous moonshine

Функція є нормалізованою головною модулярною функцією[en] для групи , а її -розклад , OEISA007248, де , є градуйованим характером будь-якого елемента в класі суміжності 4C групи-монстра, що діє на вершинній алгебрі монстра[en].

Література

[ред. | ред. код]
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Ma\-the\-ma\-ti\-cal Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001
  • Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der ma\-the\-ma\-ti\-schen Wissenschaften, vol. 281, Springer-Verlag, pp. 108—121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
  • Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), Monstrous moonshine, Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308—339,\\ doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399, Zbl 0424.20010
  • Rankin, Robert A. (1977), Modular Forms and Functions, Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020
  • Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), Elliptic Modular Function, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
  • Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi \& the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.
  • Conway, J. H. and Norton, S. P. Monstrous Moonshine. Bull. London Math. Soc. 11, 308—339, 1979.
  • Selberg, A. and Chowla, S. ``On Epstein's Zeta-Function. J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.

Посилання

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. не є модулярною функцією (відповідно до означення в Вікіпедії), але кожна модулярна функція є раціональною в . Деякі автори використовують нееквівалентні означення для «модулярних функцій».
  2. Chandrasekharan (1985) p.115
  3. Chandrasekharan (1985) p.109
  4. Chandrasekharan (1985), p.110
  5. а б в г Chandrasekharan (1985), p.108
  6. Chandrasekharan (1985), p.63
  7. Chandrasekharan (1985), p.117
  8. Rankin (1977), pp.226-228
  9. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (First ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7. p.103-109, 134.}
  10. Для будь-якого простого степеня можна ітерувати модулярне рівняння степеня . Цей процес можна використовувати для знаходження алгебраїчних значень для будь-якого
  11. Jacobi, Carl Gustav Jacob (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (in Latin). p.42
  12. є алгебраїчним для будь-якого
  13. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (First ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7. p.152
  14. Chowla, S.; Selberg, A. On Epstein's Zeta Function (I). Semantic Scholar. p. 373
  15. Chowla, S.; Selberg, A. On Epstein's Zeta-Function. EuDML. p. 86–110
  16. Jacobi, Carl Gustav Jacob (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (in Latin). p.~42
  17. Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat; Zhang, Liang-Cheng (6 June 1997). Ramanujan's class invariants, Kronecker's limit formula, and modular equations. Transactions of the American Mathematical Society. 349 (6): 2125—2173
  18. Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (in French). HERMANN. ISBN 2705614435. p.240
  19. Chandrasekharan (1985), p.121
  20. Chandrasekharan (1985), p.118