Монстр Тарського

Група (математика)
Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Фактор-група (напів-)Прямий добуток
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедральна група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Групи Конвея Co1 • Co2 • Co3 Групи Янко J1 • J2 • J3 • J4 Групи Фішера F22 • F23 • F24 Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Ортогональна група O(n) Спеціальна унітарна група SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Група Лоренца Група Пуанкаре

Монстр Та́рського — нескінченна група, кожна нетривіальна підгрупа якої є циклічною групою фіксованого простого порядку. Названа на честь Альфреда Тарського.

Існування монстрів Тарського довів 1979 року Ольшанський. Вони є джерелом контрприкладів у теорії груп, наприклад до задачі Бернсайда та гіпотези фон Неймана.

Визначення

Нехай $p$ — фіксоване просте число. Нескінченна група $G$ називається монстром Тарського для $p$ якщо всі власні підгрупи (тобто всі підгрупи, крім тривіальної $\{1\}$ і $G$) мають $p$ елементів.

Властивості

• Монстр Тарського скінченно породжений.
  • Більш того, він породжується будь-якими двома некомутувальними елементами.
• Монстр Тарського простий.
• За побудовою Ольшанського існує континуум неізоморфних монстрів Тарського для кожного простого числа $p>10^{75}$.

Див. також

• Монстр (група)

Посилання

• А. Ю. Ольшанский. Бесконечная группа с~подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. матем.. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 309—321.
• A. Yu. Olshanskii, Groups of bounded period with subgroups of prime order, Algebra and Logic 21 (1983), 369—418; translation of Algebra i Logika 21 (1982), 553—618.
• Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991), Geometry of defining relations in groups, Mathematics and its Applications (Soviet Series), т. 70, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-1394-6