Наближення випадкових фаз

Наближення випадкових фаз (англійське скорочення RPA — random phase approximation) — наближений теоретичний метод у терії конденсованих середовищ та ядерній фізиці. Його запропонували в низці важливих робіт 1952—1953 років Девід Бом та Девід Пайнз. Метод дозволяє врахувати екрановану взаємодію між електронами і, розрахувавши діелектричну функцію, пояснити з квантової точки зору низку твердотільних явищ, зокрема, плазмони.

У наближенні випадкових фаз вважається, що електрони відчувають повний потенціал електричного поля V(r), що є сумою зовнішнього збурення V_ext(r) та потенціалу екрануваної взаємодії з іншими електронами V_sc(r). Вважається, що збурення осцилює з частотою ω, тож модель дає самоузгоджену і динамічну діелектричну функцію ε_RPA(k, ω).

Робиться припущення, що внесок у діелектричну функцію від повного потенціалу усереднюється до нуля, окрім складової з хвильовим вектором k. Від цього припущення походить назва методу, фази розсіяних різними електронами хвиль випадкові, а тому в середньому компенсують одна одну. Отриману діелектричну функцію називають діелектричною функцією Ліндгарда. Вона правильно відтворює багато властивостей електронного газу.

В кінці 1950-х RPA зазнало критики через надто велике число ступенів вільності. Ця критика призвела до інтенсивних пошуків обґрунтування. У ключовій статті Маррі Гелл-Манна та Кіта Брюкнера було показано, що RPA можна вивести з підсумовування провідних членів ланцюжка діаграм Фейнмана в електронному газі високої густини.

Узгодженість результатів стала важливим обґрунтуванням та мотивувала значний ріст інтересу до теоретичної фізики в кінці 1950-х та в 1960-х роках.

Застосування: Основний стан системи бозонів із взаємодією

Основний стан наближення випадкових фаз $\left|\mathbf {RPA} \right\rangle$ системи бозонів можна виразити через основні бозонні стани без врахування кореляцій $\left|\mathbf {MFT} \right\rangle$ та вихідні бозонні збудження $\mathbf {a} _{i}^{\dagger }$

$\left\langle \mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left|\mathrm {MFT} \right\rangle$

де Z — симетрична матриця з $|Z|\leq 1$, а

${\mathcal {N}}={\frac {\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {RPA} \right\rangle }{\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {MFT} \right\rangle }}$

Нормування можна обрахувати як

$\langle \mathrm {RPA} |\mathrm {RPA} \rangle ={\mathcal {N}}^{2}\langle \mathrm {MFT} |\mathbf {e} ^{z_{i}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2}/2}\mathbf {e} ^{z_{j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2}/2}|\mathrm {MFT} \rangle =1$

де $Z_{ij}=(X^{\mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}$ — сингулярний розклад матриці $Z_{ij}$.

${\tilde {\mathbf {q} }}^{i}=(X^{\dagger })_{j}^{i}\mathbf {a} ^{j}$

${\mathcal {N}}^{-2}=\sum _{m_{i}}\sum _{n_{j}}{\frac {(z_{i}/2)^{m_{i}}(z_{j}/2)^{n_{j}}}{m!n!}}\langle \mathrm {MFT} |\prod _{i\,j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2n_{j}}|\mathrm {MFT} \rangle$

$=\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i}/2)^{2m_{i}}{\frac {(2m_{i})!}{m_{i}!^{2}}}=$

$\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i})^{2m_{i}}{1/2 \choose m_{i}}={\sqrt {\det(1-|Z|^{2})}}$

Зв'язок між новими та старими збудженнями задається формулою

${\tilde {\mathbf {a} }}_{i}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}+\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}Z\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}^{\dagger }$.