Нормальна матриця
Квадратна матриця з комплексними елементами називається нормальною, якщо вона є переставною зі своєю спряженою матрицею:
Розклад матриці за допомогою власних векторів[ред. | ред. код]
Матриця є нормальною тоді і тільки тоді, коли існує унітарна матриця та діагональна матриця , що виконується:
Ця формула називається розкладом матриці за її власними векторами, тому що для матриць та справедливі такі властивості:
- — елементи на головній діагоналі є власними значеннями матриці
- Стовпці матриці є власними векторами матриці розташовані відповідно до своїх власних значень.
Властивості[ред. | ред. код]
- Якщо — нормальна матриця, то в матриць власні вектори будуть однаковими, а власні значення — комплексно-спряженими:
- Для довільної квадратної матриці існує полярний розклад .
- Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли будуть переставними:
- Довільну квадратну матрицю можна представити через дві ермітові матриці .
- Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці будуть переставними:
- Нормальні матриці є переставними тоді і тільки тоді, коли всі їх власні вектори є спільними:
- ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.
- Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці є нормальними та переставними, тоді матриці:
- — теж будуть нормальними та переставними.
Часткові випадки[ред. | ред. код]
Всі комплексні унітарні, ермітові косоермітові матриці є нормальними матрицями. Також всі дійсні ортогональні, симетричні кососиметричні матриці є нормальними матрицями.
Зв'язок з комплексними числами[ред. | ред. код]
Якщо вважати нормальні матриці узагальненням комплексних чисел, то в такому випадку:
- унітарні матриці є аналогом комплексних чисел рівних по модулю одиниці,
- ермітові матриці є аналогом дійсних чисел,
- додатноозначені матриці є аналогом додатних чисел,
- антиермітові матриці — аналогом чисто уявних чисел.
Приклади[ред. | ред. код]
Матриця є нормальною, оскільки
Але вона не є ні унітарною, ні ермітовою, ні косо-ермітовою.
Якщо матриця є трикутною і нормальною, тоді вона — діагональна.
Див. також[ред. | ред. код]
Джерела[ред. | ред. код]
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
- Ланкастер П. Теория матриц. — Москва : Наука, 1973. — 280 с.(рос.)
- Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)