У математиці ознаки Діні та Діні–Ліпшіца є високоточними, вони використовуються для доведення збіжності ряду Фур’є в заданій точці. Ознаки названі на честь Уліса Діні та Рудольфа Ліпшіца.
Нехай — функція, що задана на відрізку , — деяка точка та — додатне число. Визначимо локальний модуль неперервності в точці як
Зауважимо, що розглядається як періодична функція; наприклад, якщо i , тоді вважаємо, що .
Глобальний модуль неперервності (або просто модуль неперервності[en]) визначається як
За допомогою цих визначень можемо сформулювати основний результат:
- Теорема (ознака Діні): Нехай у точці функція задовольняє умову
- Тоді ряд Фур’є функції у точці збігається до функції
Наприклад, теорема справедлива при , але несправедлива при .
- Теорема (ознака Діні–Ліпшіца): Нехай функція задовольняє умову
- Тоді ряд Фур’є функції рівномірно збігається до .
Зокрема, будь-яка функція з класу Гельдера задовольняє ознаку Діні–Ліпшіца.
Обидві ознаки є найкращими у своєму роді. Для ознаки Діні–Ліпшіца можна побудувати функцію з модулем неперервності, що задовольняє ознаку з точністю асимптотичної оцінки замість , тобто
i ряд Фур’є функції розходиться. Для ознаки Діні, твердження щодо точності є трошки довшим: для будь-якої функції такої, що
існує така функція , що
i ряд Фур’є функції розходиться у точці .
Модифікована ознака Діні[ред. | ред. код]
Справедлива також модифікація ознаки Діні на випадок, коли функція має розрив у точці , але тим не менш, її звуження на проміжках та можуть бути продовженими до функції, що задовольняють ознаку Діні.
Нехай , — деякі числа. Покладемо для
Якщо числа , та функція такі, що
то ряд Фур’є функції у точці збігається до .
Приклад застосування ознаки Діні: сума обернених квадратів[ред. | ред. код]
Розглянемо періодичне продовження функції з проміжку :
де фігурні дужки позначають дробову частину числа. Нескладно знайти розклад цієї функції в ряд Фур’є:
Підставляючи та , i користуючись для обґрунтування точкової збіжності відповідно звичайною та модифікованою ознакою Діні, отримаємо наступні рівності:
та