Оператор зсуву

У математиці, і зокрема у функційному аналізі, оператор зсуву, також відомий як оператор трансляції — це оператор, який переводить функцію $x\mapsto f(x)$ у її трансляцію $x\mapsto f(x+a)$. В аналізі часових рядів оператор зсуву називається оператором відставання.

Оператори зсуву є прикладами лінійних операторів, важливі через їх простоту та природність. Дія оператора зсуву на функції дійсної змінної відіграє важливу роль у гармонічному аналізі, наприклад, вона з’являється у визначеннях майже періодичних функцій, позитивно визначених функцій, похідних і згортки. Зміщення послідовностей (функцій цілочисельної змінної) з’являються в різних областях, таких як простори Гарді, теорія абелевих многовидів і теорія символічної динаміки, для яких карта Бейкера є наочним представленням.

Означення

Функції дійсної змінної

Оператор зсуву $T^{t}$ (де $t\in R$) переводить функцію f визначену на R у її образ f_t,

$T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.$

Практичне операційно-численне представлення лінійного оператора $T^{t}$ в термінах звичайної похідної ${\frac {d}{dx}}$ було запропоноване Лагранжем

$T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,$

який можна інтерпретувати через його формальний розклад Тейлора в t; і чия дія на одночлен xⁿ очевидна з біноміальної теореми, а отже, і на увесь ряд за x, отже, на всі функції f(x), як описано вище. Отже, це формальне кодування розкладу Тейлора в аналізі Хевісайда.

Таким чином, оператор надає прототип знаменитого адвективного потоку Лі для абелевих груп,

$e^{t\beta (x){\frac {d}{dx}}}f(x)=e^{t{\frac {d}{dh}}}F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),$

де канонічні координати h (функції Абеля) визначені так, що

$h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).$

З цього легко випливає, що, наприклад, $\beta (x)=x$ дає масштабування,

$e^{tx{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(e^{t}x),$

отже $e^{i\pi x{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(-x)$ (паритет); так само, $\beta (x)=x^{2}$ дає

$e^{tx^{2}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),$

$\beta (x)=1/x$ дає

$e^{{\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),$

$\beta (x)=e^{x}$ дає

$\exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),$

тощо.

Початкова умова потоку та групова властивість однозначно визначають весь потік Лі, забезпечуючи розв’язок трансляційного функційного рівняння

$f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).$

Послідовності

Оператор зсуву вліво діє на односторонню нескінченну послідовність чисел наступним чином

$S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )$

а на двосторонніх нескінченних послідовностях

$T:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k=-\infty }^{\infty }.$

Оператор зсуву вправо діє на односторонню нескінченну послідовність чисел задається так

$S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )$

а на двосторонніх нескінченних послідовностях

$T^{-1}:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k=-\infty }^{\infty }.$

Оператори зсуву вправо і вліво, що діють на двосторонні нескінченні послідовності, називаються двосторонніми зсувами.

Абелеві групи

Загалом, як показано вище, якщо F є функцією на абелевій групі G, а h є елементом G, оператор зсуву T ^g відображає F на

$F_{g}(h)=F(h+g).$

Властивості оператора зсуву

Оператор зсуву, що діє на дійсно- чи комплекснозначні функції або послідовності, є лінійним оператором, який зберігає більшість стандартних норм, якими оперують в функційному аналізі. Тому зазвичай це неперервний оператор з нормою один.

Застосування на Гільбертових просторах

Оператор зсуву, що діє на двосторонні послідовності, є унітарним оператором в ℓ₂(Z). Оператор зсуву, що діє на функції дійсної змінної, є унітарним оператором в L₂(R) .

В обох випадках оператор зсуву (вліво) задовольняє таке комутаційне співвідношення з перетворенням Фур’є:

$${\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},$$

де M^t — оператор множення на exp(itx) . Отже, спектр T^t є одиничним колом.

Однобічний зсув S, що діє в ℓ₂(N), є правильною ізометрією з діапазоном, що дорівнює всім векторам, перша координата яких зануляється. Оператор S є стисненням T⁻¹ у сенсі

$$T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),$$

де y — вектор у ℓ₂(Z) з y_i = x_i для i ≥ 0 та y_i = 0 для i < 0 . Це спостереження лежить в основі побудови багатьох унітарних розширень ізометрій.

Спектр S є одиничним кругом. Зсув S є одним із прикладів оператора Фредгольма з індексом Фредгольма −1.

Узагальнення

Жан Дельсарт ввів поняття узагальненого оператора зсуву (також називається узагальненим оператором зсуву ); далі поняття розвинув Борис Левітан.

Сімейство операторів $\{L^{x}\}_{x\in X}$, що діють в просторі Φ функцій з множини X на множину C, називається сімейством операторів узагальненого зсуву, якщо задовольняються наступні умови:

1. Асоціативність: нехай $(R^{y}f)(x)=(L^{x}f)(y)$. Тоді $L^{x}R^{y}=R^{y}L^{x}$.
2. $\exists \ e\in X:L^{e}$ — є тотожним оператором.

Див. також

• Арифметичний зсув
• Логічний зсув
• Кінцева різниця

Бібліографія

• Partington, Jonathan R. (15 березня 2004). Linear Operators and Linear Systems. Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9780511616693. ISBN 978-0-521-83734-7.
• Marvin Rosenblum and James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory, (1985) Oxford University Press.