Плюккерові координати

Плю́керові координа́ти — координати (набори чисел), що визначають підпростори $M$ (довільної розмірності) векторного або проєктивного простору $L$. Є узагальненням однорідних координат точок проєктивного простору та також визначені з точністю до множення на довільний ненульовий множник. Уперше ввів Плюккер у окремому випадку проєктивних прямих у тривимірному проєктивному просторі, що для векторних просторів відповідає випадку $\dim M=2$ і $\dim L=4$.

Визначення в координатах

Нехай $M$ — $m$-вимірний підпростір $n$-вимірного векторного простору $L$. Для визначення плюкерових координат підпростору $M$ виберемо довільний базис $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ в $L$ і довільний базис $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$ в $M$. Кожен вектор $a_{i}$ має в базисі $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ координати $(a_{i1},\;\ldots ,\;a_{in})$, тобто $a_{i}=a_{i1}e_{1}+\ldots +a_{in}e_{n}$. Записуючи координати векторів $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$ у вигляді рядків, отримаємо матрицю

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},$

ранг якої дорівнює $m$. Позначимо через $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ мінор матриці $A$, що складається зі стовпців з номерами $i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}$, які набувають значень від $1$ до $n$. Числа $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ незалежні: якщо набір індексів $(i_{1},\;\ldots ,\;i_{m})$ отримано з $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m})$ за допомогою перестановки $\sigma \in S_{m}$, то виконується рівність $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=\pm M_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m}}$, де знак «плюс» або «мінус» відповідає тому, чи є перестановка $\sigma$ парною, чи непарною. Розглянута з точністю до множення на спільний ненульовий множник сукупність $C_{n}^{m}$ чисел $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ для всіх упорядкованих наборів індексів $i_{1}<\ldots <i_{m}$, що набувають значень від $1$ до $n$, називають плюккеровими координатами підпростору $M$.

Властивості

1. Незалежність від вибору базису.

Якщо в підпросторі $M$ вибрано інший базис $a'_{1},\;\ldots ,\;a'_{m}$, то новий набір плюккерових координат $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ матиме вигляд $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$, де $c$ — деякий ненульовий множник. Справді, новий базис пов'язаний зі старими співвідношеннями $a'_{i}=a'_{i1}a_{1}+\cdots +a'_{im}a_{m}$, і визначник матриці $(a'_{ij})$ відмінний від нуля. Відповідно до визначення плюккерових координат і теореми про визначник добутку матриць, маємо $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$, де $c=\det(a'_{ij})$.

2. Грассманіан.

Ставлячи у відповідність кожному $m$-вимірному підпростору $M$ набір його плюккерових координат $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$, ми зіставляємо $M$ деяку точку проєктивного простору $P$ розмірності $C_{n}^{m}-1$. Побудоване в такий спосіб відображення $g$ ін'єктивне, але не сюр'єктивне (тобто його образ не збігається з усім простором $P$). Образ множини всіх $m$-вимірних підпросторів $n$-вимірного простору при відображенні $g$ є $m(n-m)$-вимірним проєктивним алгебричним многовидом $P$, що називається многовидом Грассмана або грассманіаном і позначається $G(m,\;n)$ або $\mathrm {Gr} _{m}(L)$.

3. Співвідношення Плюккера.

Критерієм, за яким можна визначити, чи належить точка проєктивного простору $P$ грасманіану $G(m,\;n)$ є так звані співвідношення Плюккера:

$\sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}k_{r}}\cdot p_{k_{1},\;\ldots ,\;{\breve {k_{r}}},\;\ldots ,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \,(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1}),$

де всі індекси в наборах $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ і $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ набувають значень від $1$ до $n$, знак ${\breve {}}$ позначає пропуск індексу, що стоїть під ним. Ця сума виходить, якщо із сукупності $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ викинути почергово по одному індексу і цей індекс приписати праворуч до набору $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$, потім два числа, що вийшли $p_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m}}=M_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m}}$ перемножити (зауважимо, що ці числа є мінорами матриці $A$, але не обов'язково є плюккеровими координатами, оскільки набори їхніх індексів не обов'язково впорядковані за зростанням) і потім взяти суму всіх таких добутків зі знаками, що чергуються. Співвідношення Плюккера виконуються для кожного $m$-вимірного підпростору $M\subset L$. І навпаки, якщо однорідні координати $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$, $i_{1}<\ldots <i_{m}$, деякої точки проєктивного простору $P$ задовольняють цим співвідношенням, то ця точка при відображенні $g$ відповідає деякому підпростору $M\subset L$, тобто належить $G(m,\;n)$.

Мовою матриць це означає: якщо числа $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ задовольняють співвідношенням Плюккера, існує матриця, для якої вони є мінорами максимального порядку, а якщо ні, то не існує такої матриці. Це розв'язує задачу про можливість відновлення матриці за її мінорами максимального порядку з точністю до лінійного перетворення рядків.

Приклад

У разі $n=4$ і $m=2$ маємо $C_{4}^{2}=6$, і отже, кожна площина $M$ у 4-вимірному векторному просторі має $6$ плюккерових координат: $p_{12}$, $p_{13}$, $p_{14}$, $p_{23}$, $p_{24}$, $p_{34}$. Вибираючи в площині $M$ базис $a_{1},\;a_{2}$ так, що $a_{1}=e_{1}$ і $a_{2}=e_{2}$, отримуємо матрицю

$A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix}},$

звідки знаходимо:

$p_{12}=1$, $p_{13}=\gamma$, $p_{14}=\delta$, $p_{23}=-\alpha$, $p_{24}=-\beta$, $p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma$ .

Очевидно, що виконується співвідношення

$p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0$ ,

яке зберігається при множенні всіх $p_{i_{1}i_{2}}$ на будь-який спільний множник, тобто не залежить від вибору базису. Це і є співвідношення Плюккера, яке визначає проєктивну квадрику $G(2,\;4)$ у 5-вимірному проєктивному просторі.

Див. також

• Задача Кіркмана про школярок

Література

• Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М. : изд-во МГУ, 1962.
• Зеликин М. И.. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М. : Факториал, 1998.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — М. : ИЛ, 1954. — Т. 1. (Тут плюккерові координати названо грассмановими).
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Физматлит, 2009.
• Casas-Alvero E.. Analytic Projective Geometry. — European Mathematical Society, 2014.