Повний метричний простір

Означення

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною.

Критерій повноти метричного простору

Для того, щоб метричний простір був повним необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність замкнених вкладених одна в одну куль, радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній перетин.

Приклади повних метричних просторів

• Метричний простір $(\mathbb {R} ^{n},\rho ),\;\rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$ (тобто з евклідововою метрикою). Коротке позначення цього простору: $\mathbb {R} ^{n}$.

• Метричний простір $(\mathbb {R} ^{n},\rho ),\;\rho (x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|$. Коротке позначення цього простору: $\mathbb {R} _{1}^{n}$.

• Метричний простір $(\mathbb {R} ^{n},\rho ),\;\rho (x,y)=\max _{i}|x_{i}-y_{i}|$. Коротке позначення цього простору: $\mathbb {R} _{\infty }^{n}$.

• Метричний простір $(X,\rho ),\;X=\{x=(x_{1},x_{2},...,x_{n},...):\;\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}<+\infty ,x_{n}\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} \},\rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-y_{i})^{2}}}$. Коротке позначення цього простору: $\ l_{2}$.

• Метричний простір $\ (C[a,b],\rho )$, де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а $\rho$ — чебишовська (рівномірна) метрика, тобто $\rho (x(t),y(t))=\max _{t\in [a,b]}|x(t)-y(t)|$. Коротке позначення цього простору: C[a,b].

Приклад неповного метричного простору

• Метричний простір (C[a,b],d), де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а $\rho$ — метрика, означена рівністю: $\rho (x(t),y(t))={\sqrt {\int _{a}^{b}(x(t)-y(t))^{2}dt}}$. Коротке позначення цього простору: $C_{2}[a,b]$.

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)
• Функціональний аналіз, спеціальність «Прикладна математика». Лекція № 7. Повні метричні простори. Кафедра обчислювальної математики факультету кібернетики КНУ(укр.)