Полігамма-функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Дигамма-функція
Тригамма-функція
Тетрагамма-функція
Пентагамма-функція

Поліга́мма-фу́нкція порядку m у математиці визначається як (m+1)-ша похідна натурального логарифма гамма-функції,

де  — гамма-функція, а

дигамма-функція, яку також можна визначити через суму такого ряду:

де  — стала Ейлера — Маскероні. Це подання справедливе для будь-якого комплексного (у зазначених точках функція має сингулярності першого порядку)[1].

Полігамма-функцію також можна визначити через суму ряду

який виходить із подання для дигамма-функції диференціюванням за z[2]. Це подання також справедливе для будь-якого комплексного (у зазначених точках функція має сингулярності порядку (m+1)). Його можна записати через дзета-функцію Гурвіца[2],

У цьому сенсі дзета-функцію Гурвіца можна використати для узагальнення полігамма-функції на випадок довільного (нецілого) порядку m.

Зазначимо, що в літературі іноді позначають як або явно вказують штрихи для похідних за z. Функцію називають тригамма-функцією,  — тетрагамма-функцією,  — пентагамма-функцією,  — гексагамма-функцією, і т. д.

Інтегральне подання

[ред. | ред. код]

Полігамма-функцію можна подати як

Це подання справедливе для Re z >0 і m > 0. При m=0 (для дигамма-функції) інтегральне подання можна записати у вигляді

де  — стала Ейлера — Маскероні.

Асимптотичні розклади

[ред. | ред. код]

При () справедливий такий розклад із використанням чисел Бернуллі:

Розклад у ряд Тейлора поблизу аргументу, рівного одиниці, має вигляд

де ζ позначає дзета-функцію Рімана. Цей ряд збігається при |z| < 1, і його можна отримати з відповідного ряду для дзета-функції Гурвіца.

Часткові значення

[ред. | ред. код]

Значення полігамма-функції при цілих і напівцілих значеннях аргументу виражаються через дзета-функцію Рімана,

а для дигамма-функції (при m=0) —

де  — стала Ейлера — Маскероні[2].

Щоб отримати значення полігамма-функції за інших цілих (додатних) і напівцілих значень аргументу, можна використати рекурентне співвідношення, наведене нижче.

Інші формули

[ред. | ред. код]

Полігамма-функція задовольняє рекурентне співвідношення[2]

а також формулу доповнення[2]

Для полігамма-функції кратного аргументу існує така властивість[2]:

а для дигамма-функції () до правої частини треба додати [2],

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Eric W. Weisstein Дигамма-функція(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  2. а б в г д е ж Eric W. Weisstein Полігамма-функція(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Посилання

[ред. | ред. код]