Просте число Віферіха

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В теорії чисел простим числом Віферіха називається просте число , таке, що ділить [1], що є посиленням твердждення малої теореми Ферма, яка стверджує, що будь-яке непарне просте ділить . Ці прості числа вперше описані Артуром Віферіхом[en] (нім. Arthur Wieferich).

Незважаючи на численні пошуки, донині відомо лише про 2 простих числа Віферіха — це 1093 та 3511 (послідовність A001220 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Властивості простих чисел Віферіха

[ред. | ред. код]

Посилений варіянт малої теореми Ферма, якій задовільняють прості числа Віферіха, зазвичай записується у вигляді порівняння по модулю . Із визначення порівняння випливає, що ця властивість еквивалентна визначенню, що наведено на початку статті. Таким чином, якщо просте p задовільняє порівнянню, це просте ділить частку Ферма .

Наведемо два приклади:

Для p = 11 ми отримуємо , що дає число 93, яке має залишок від ділення на 11, рівний 5. Таким чином, 11 не є простим числом Віферіха.

Для p = 1093, ми отримуємо або 485439490310...852893958515 (302 цифри з середини випущено) і це число дає залишок 0 при діленні на 1093, отже 1093 є простим числом Віферіха.

Історія та статус пошуку

[ред. | ред. код]

В 1902 році німецький математик Франц Мейєр (Wilhelm Franz Meyer) довів теорему про розв'язок конгруєнції ap − 1 ≡ 1 (mod pr).[2]:930[3] Десятиріччям пізніше Артур Віферіх (нім. Arthur Wieferich) в 1909 році в праці, що стосується великої теореми Ферма, у якій він довів, що якщо перша частина останньої теореми Ферма не виконується для деякої експоненти , тоді задовільняє умові для . Іншими словами, якщо існує розв'язок рівняння xp + yp + zp = 0 в цілих числах, x, y, z та p є непарними простими, такими, що pxyz, тоді p задовільняє умові 2p − 1 ≡ 1 (mod p2).

Перше просте Віферіха, число 1093, було знайдене В. Мейснером (Waldemar Meissner) в 1913 році і підтверджено, що це єдине просте Віферіха серед чисел менших за 2000.

Друге просте, число 3511, було віднайдено Біґером (N. G. W. H. Beeger) в 1922 році.

В 2007–2016 роках пошук простих Віферіха виконувався проєктом розподілених обчислень Wieferich@Home. В 2011–2017 роках інший пошук був організований проєктом PrimeGrid. Нажаль пізніше робота, виконана в цьому проекті, була визнана марною. Хоча ці проекти досягли меж пошуку понад 1017, жоден із них не повідомив про результати, яким можна довіряти.

В листопаді 2020 року PrimeGrid розпочав новий проєкт з одночасним пошуком простих Віферіха та Волла-Суня-Суня. Новий проєкт використовує чексуми для незалежної подвійної перевірки кожного інтервалу, що мінімізує ризик пропуску простого через збої обладнання. Станом на серпень 2022 року PrimeGrid дійшов до межі у 14,4⋅1018 та продовжує пошук майже простих Віферіха.

Майже прості Віферіха

[ред. | ред. код]

Просте число p, що задовільняє рівнянню для малих значень , називається майже простим Віферіха (послідовність A195988 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Посилання

[ред. | ред. код]

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. The Prime Glossary: Wieferich prime, архів оригіналу за 23 квітня 2013, процитовано 20 серпня 2022
  2. Wilfrid Keller; Jörg Richstein (2005), Solutions of the congruence ap−1 ≡ 1 (mod pr) (PDF), Mathematics of Computation, 74 (250): 927—936, doi:10.1090/S0025-5718-04-01666-7.
  3. Meyer, W. Fr. (1902). Ergänzungen zum Fermatschen und Wilsonschen Satze. Arch. Math. Physik. 3. 2: 141—146. Процитовано 2 вересня 2020.