Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Ряд Дайсона — ряд збурень у теорії розсіяння , кожен із членів якого можна зобразити у вигляді діаграми Фейнмана . Ряд носить ім'я Фрімена Дайсона і є загалом розбіжним, однак, уже другий член цього ряду в квантовій електродинаміці дозволяє отримати точність до 10−10
завдяки малості сталої тонкої структури .
Побудова ряду Дайсона використовує поняття часового упорядкування .
Вивчається система, що описується гамільтоніаном , який є сумою незбуреної частини й збурення:
H
^
=
H
^
0
+
V
^
{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}}
У зображенні взаємодії оператор еволюції хвильової функції
U
^
(
t
,
t
0
)
{\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})}
i
ℏ
U
^
(
t
,
t
0
)
d
t
=
V
^
(
t
)
U
^
(
t
,
t
0
)
{\displaystyle i\hbar {\frac {{\hat {U}}(t,t_{0})}{dt}}={\hat {V}}(t){\hat {U}}(t,t_{0})}
де
V
^
(
t
)
=
e
i
/
ℏ
H
^
0
t
V
^
e
−
i
/
ℏ
H
^
0
t
,
{\displaystyle {\hat {V}}(t)=e^{i/\hbar {\hat {H}}_{0}t}{\hat {V}}e^{-i/\hbar {\hat {H}}_{0}t},}
або інтегродиференціальному рівнянню
U
^
(
t
,
t
0
)
=
1
−
i
ℏ
∫
t
0
t
V
^
(
t
1
)
U
^
(
t
1
,
t
0
)
d
t
1
{\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})dt_{1}}
Підставляючи оператор еволюції з лівої частини в праву, можна отримати нескінченний ряд:
U
^
(
t
,
t
0
)
=
1
−
i
ℏ
∫
t
0
t
V
^
(
t
1
)
d
t
1
+
(
−
i
)
2
ℏ
2
∫
t
0
t
∫
t
0
t
1
V
^
(
t
1
)
V
^
(
t
2
)
d
t
1
d
t
2
+
…
{\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V}}(t_{1})dt_{1}+{\frac {(-i)^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})dt_{1}dt_{2}+\ldots }
Дайсон запропонував розширити інтегрування в кожному інтегралі від
t
0
{\displaystyle t_{0}}
t
{\displaystyle t}
V
^
(
t
1
)
V
^
(
t
2
)
{\displaystyle {\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})}
t
1
>
t
2
{\displaystyle t_{1}>t_{2}}
n
!
{\displaystyle n!}
Як наслідок n-ний член ряду матиме вигляд:
U
^
n
=
(
−
i
)
n
n
!
ℏ
n
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
d
t
2
⋯
∫
t
0
t
d
t
n
T
V
^
(
t
1
)
V
^
(
t
2
)
⋯
V
^
(
t
n
)
.
{\displaystyle {\hat {U}}_{n}={\frac {(-i)^{n}}{n!\hbar ^{n}}}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}{dt_{n}{\mathcal {T}}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})\cdots {\hat {V}}(t_{n})}}}.}
де
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
Як наслідок, ряд Дайсона можна записати в компактному вигляді:
U
^
(
t
,
t
0
)
=
∑
n
=
0
∞
U
^
n
(
t
,
t
0
)
=
T
e
−
i
/
ℏ
∫
t
0
t
d
τ
V
^
(
τ
)
.
{\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }{\hat {U}}_{n}(t,t_{0})={\mathcal {T}}e^{-i/\hbar \int _{t_{0}}^{t}{d\tau {\hat {V}}(\tau )}}.}
А. Г. Ситенко (1971). Лекции по теории рассеяния . Київ: Вища школа.
