Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В електромагнетизмі рівняння Єфименка , названі на честь Олега Єфименка , описують поведінку електричного та магнітного полів з точки зору розподілу зарядів і струмів у час запізнення .
Рівняння Єфименко є розв'язками рівнянь Максвелла для заданого розподілу зарядів і струмів за умови відсутності електромагнітного поля крім одного, створеного цими ж зарядами та струмами.
Вектори положення
r
{\displaystyle r}
r
′
{\displaystyle r'}
Рівняння Єфименка[1] електричне поле
E
{\displaystyle E}
магнітне поле
B
{\displaystyle B}
густині заряду
ρ
{\displaystyle \rho }
густині струму
J
{\displaystyle J}
[2]
E
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
[
(
ρ
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
3
+
1
|
r
−
r
′
|
2
c
∂
ρ
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
)
(
r
−
r
′
)
−
1
|
r
−
r
′
|
c
2
∂
J
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
]
d
3
r
′
,
{\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {r} ,t\right)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}+{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{2}c}}{\frac {\partial \rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\partial t}}\right)\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)-{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',}
B
(
r
,
t
)
=
μ
0
4
π
∫
[
J
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
3
+
1
|
r
−
r
′
|
2
c
∂
J
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
]
×
(
r
−
r
′
)
d
3
r
′
,
{\displaystyle \mathbf {B} \left(\mathbf {r} ,t\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}+{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\partial t}}\right]\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',}
Де
r
′
{\displaystyle r'}
розподілу заряду ,
r
{\displaystyle r}
t
r
=
t
−
|
r
−
r
′
|
c
{\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}}
— час запізнення .
Також існують аналогічні вирази для
D
{\displaystyle D}
H
{\displaystyle H}
Ці рівняння залежать від часу узагальненнями законів Кулона та Біо-Савара в електродинаміці , які перш за все справедливі лише для електростатичних , магнітостатичних полів і постійних струмів .
Рівняння Єфименко можуть бути виведені[2] запізнілих потенціалів
ϕ
{\displaystyle \phi }
A
{\displaystyle A}
φ
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
ρ
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
,
A
(
r
,
t
)
=
μ
0
4
π
∫
J
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',\\&\mathbf {A} \left(\mathbf {r} ,t\right)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',\end{aligned}}}
що є розв'язками рівнянь Максвелла в потенціальній формі, займаючи місце у визначеннях електромагнітних потенціалів самих себе:
E
=
−
∇
φ
−
∂
A
∂
t
,
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
і використавши співвідношення
c
2
=
1
ϵ
0
μ
0
{\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}}
заміняє потенціали
ϕ
{\displaystyle \phi }
A
{\displaystyle A}
E
{\displaystyle E}
B
{\displaystyle B}
↑ Oleg D. Jefimenko , Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields , Appleton-Century-Crofts (New-York — 1966). 2nd ed.: Electret Scientific (Star City — 1989), ISBN 978-0-917406-08-9 . See also: David J. Griffiths , Mark A. Heald, Time-dependent generalizations of the Biot–Savart and Coulomb laws , American Journal of Physics 59 (2) (1991), 111—117.↑ а б Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D. J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 .
![{\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {r} ,t\right)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}+{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{2}c}}{\frac {\partial \rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\partial t}}\right)\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)-{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fb96e1557b52eb0b66abb9358209f633cd35e4)
![{\displaystyle \mathbf {B} \left(\mathbf {r} ,t\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}+{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\partial t}}\right]\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f5d1de91402d0fd5c3b9b74e25a6d4ba7914be)
