Рівняння теплопровідності

Рівня́ння теплопрові́дності — рівняння, що визначає закон зміни температури з часом при теплопередачі через теплопровідність.

$c{\frac {dT(\mathbf {r} )}{dt}}=-\nabla \cdot \mathbf {q(\mathbf {r} )} +S(\mathbf {r} )$,

де c — питома теплоємність, $\mathbf {q}$ — тепловий потік, S — джерело тепла.

У випадку, коли тепловий потік пропорційний градієнту температури (закон Фур'є)

$\mathbf {q} =-\kappa \nabla T$,

закон теплопровідності набирає форми:

$c{\frac {dT}{dt}}=\kappa \nabla ^{2}T+S$.

Це неоднорідне диференційне рівняння в часткових похідних параболічного типу, схоже на рівняння дифузії.

Здебільшого при розв'язуванні рівняння теплопровідності вважають, що теплоємність і коефіцієнт теплопровідності не залежать від температури. В такому випадку рівняння теплопровідності стає лінійним.

Див. також

• Рівняння неперервності
• Задача Коші для рівняння теплопровідності

Посилання

• Савула Я. Метод скінченних елементів (окремі сторінки посібника 1993 р.) http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/savula.pdf
• Шинкаренко Г. Чисельні методи математичної фізики (окремі сторінки чорновика посібника)http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/nmmf.pdf