Симплектична група

Група (математика)
Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Фактор-група (напів-)Прямий добуток
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедральна група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Групи Конвея Co1 • Co2 • Co3 Групи Янко J1 • J2 • J3 • J4 Групи Фішера F22 • F23 • F24 Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Ортогональна група O(n) Спеціальна унітарна група SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Група Лоренца Група Пуанкаре

В математиці симплектичною групою називають групу симплектичних відображень чи еквівалентно симплектичних матриць на симплектичному векторному просторі над деяким полем. У випадку поля комплексних чисел так також називають певні компактні підгрупи груп симплектичних матриць (інші назви цієї групи — унітарні чи компактні симплектичні групи).

Симплектичні групи є прикладами так званих класичних груп. Вони мають широке застосування у геометрії, фізиці, теорії груп Лі (зокрема компактні симплектичні групи є однією з чотирьох нескінченних послідовностей груп, які разом з п'ятьма винятковими групами є основою для класифікації всіх компактних груп Лі).

Означення

В загальному випадку симплектичною групою для модуля $E$ з заданою на ньому симплектичною (кососиметричною і білінійною) формою над комутативним кільцем $K$ називається група автоморфізмів, що не змінюють дану симетричну форму.

Особливе значення має випадок, коли $K$ є полем і $\omega$ — невиродженою симплектичною формою. Тоді група лінійних перетворень породжується лінійними перетвореннями $A_{\alpha ,y}$, що рівні $A_{\alpha ,y}(x)=x+\alpha \omega (y,x)x.$ Кожне з цих перетворень очевидно зберігає значення симплектичної форми.

Еквівалентно симплектичну групу порядку 2n можна означити як групу матриць, що задовольняють умову $M^{\text{T}}\Omega M=\Omega \,,$ де $\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}.$

Симплектичну групу порядку 2n над полем $K$ позначають $\operatorname {Sp} (2n,K)$ або іноді $\operatorname {Sp} (n,K).$ В даній статті використовуватиметься перше позначення.

Властивості

• Визначники всіх симплектичних матриць рівні 1, тобто симплектична група є підгрупою спеціальної лінійної групи.
• Центром групи $\operatorname {Sp} (2n,K)$ для полів характеристики 2 є матриця $I_{2n},$ а для інших полів центр складається з матриць $I_{2n}$ і $-I_{2n}.$ Факторгрупа $\operatorname {PSp} (2n,K)=\operatorname {Sp} (2n,K)/Z$ по центру групи називається проективною симплектичною групою. Ці групи є простими окрім груп $\operatorname {PSp} (2,\mathbb {F} _{2}),\;\operatorname {PSp} (4,\mathbb {F} _{2}),\;\operatorname {PSp} (2,\mathbb {F} _{3}),$ де $\mathbb {F} _{q}$ —поле p q елементів.
• Порядок групи $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} _{q})$ рівний

$q^{n^{2}}(q^{2}-1)\cdots (q^{2n-2}-1)(q^{2n}-1).$

• Алгебра Лі групи $\operatorname {Sp} (2n,K)$ (як алгебраїчної групи) є алгебра матриць $M$, для яких виконується рівність:

$\Omega M+M^{\mathrm {T} }\Omega =0,$ де $\Omega$ — матриця описана вище. Еквівалентно матриці з цієї алгебри Лі це матриці, які можна записати у блочному виді:

$M={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$

де всі блоки є квадратними матрицями порядку n і B і C є симетричними матрицями.

Дійсні комплексні симплектичні групи Лі

Серед усіх симплектичних груп особливе значення мають групи $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ симплектичних груп над полем дійсних чисел і $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$ симплектичних груп над полем комплексних чисел. Усі ці групи для довільних порядків є групами Лі. Вони задовольняють таким властивостям:

• $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$ є простою групою Лі (зокрема її алгебра Лі є простою), однозв'язною, некомпактною. Її розмірність як комплексного многовида рівна n(2n + 1), розмірність як дійсного аналітичного многовида відповідно 2n(2n + 1).
• Алгебри Лі комплексних симплектичних груп, що позначаються ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )$ утворюють нескінченну послідовність простих алгебр Лі, що є однією з чотирьох нескінченних серій простих алгебр Лі, що разом з п'ятьма виключними алгебрами Лі вичерпують множину всіх простих алгебр Лі.
• $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ є простою некомпактною зв'язаною але не однозв'язною групою Лі.
• $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ має тип гомотопії групи $S^{1}\times \operatorname {SU} (n)$ тож її фундаментальна група рівна $\pi _{1}(\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} ))\cong \mathbb {Z} .$
• Алгебра Лі ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )$ є дійсною формою алгебри Лі ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )$ тобто комплексифікація алгебри ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )$ рівна ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} ).$
• Як многовид $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ є дифеоморфним добутку $\operatorname {U} (n)\times \mathbb {R} ^{n(n+1)}.$
• Довільний елемент групи $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ є добутком двох елементів, що є образами експоненти, тобто

$\forall \;S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\;\exists \;X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} ):\;S=e^{X}e^{Y}.$

Групи Sp(p,q)

Окрім групи $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ іншими дійсними формами групи $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$ (тобто підгрупами комплексифікація алгебр Лі для яких є рівною ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )$) є групи, що позначаються $\operatorname {Sp} (p,q)$ де $p,q\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;\;p+q=n.$

Елементами групи $\operatorname {Sp} (p,q)$ є матриці з $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$, що залишають незмінними ермітові форми виду $\sum _{i=1}^{2n}\epsilon _{i}z_{i}{\bar {z}}_{i},$ де $\epsilon _{i}$ є рівним 1 для $1\leqslant i\leqslant p$ або $n+1\leqslant i\leqslant n+p$ і $\epsilon _{i}$ є рівним -1 для всіх інших значень i.

Група $\operatorname {Sp} (p,q)$ є ізоморфною групі лінійних перетворень векторного простору $\mathbb {H} ^{n}$ (де $n=p+q$) над тілом кватерніонів $\mathbb {H} ,$ що зберігають незмінною кватерніонну ермітову форму, тобто форму виду:

$(x,y)=\sum _{i=1}^{p}x_{i}{\bar {y}}_{i}-\sum _{i=p+1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i},$ де $x_{i},y_{i},\;\;$— координати векторів кватерніонів, а риска зверху означає спряження в тілі кватерніонів.

Група Sp(n)

Серед груп $\operatorname {Sp} (p,q)$ найважливішими є групи $\operatorname {Sp} (0,n)$, які переважно позначають $\operatorname {Sp} (n).$ Ці групи теж часто називають симплектичними, хоча вони не є такими згідно означення даного вище. Вони мають наступні властивості

• $\operatorname {Sp} (n)\cong \operatorname {U} (2n)\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} ),\;$ тому для $\operatorname {Sp} (n)$ часто також використовується позначення $\operatorname {USp} (2n,\mathbb {C} ).$
• В тих же позначеннях, що і вище група $\operatorname {Sp} (n)$ є ізоморфною групі лінійних перетворень кватерніонного векторного простору, що зберігають незмінними ермітові форми $(x,y)=\sum _{i=p+1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i},$ тобто $\operatorname {Sp} (n)\cong \operatorname {U} (n,\mathbb {H} ).$
• $\operatorname {Sp} (n)$ є компактною однозв'язною простою дійсною групою Лі, розмірність якої рівна n(2n + 1). Її алгебра Лі є єдиною компактною дійсною формою алгебри ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} ).$ Якщо розглядати $\operatorname {Sp} (n)$ як групу кватерніонних унітарних матриць, то її алгебра Лі є алгеброю кватерніонних матриць для яких виконуються умови $A+A^{\dagger }=0$ де $A^{\dagger }$ — матриця отримана транспонуванням і кватерніонним спряженням. Дужками Лі при цьому є комутатор матриць
• Групи $\operatorname {Sp} (n)$ утворюють одну з чотирьох нескінченних серій компактних простих однозв'язних груп Лі, які є ключовими для класифікації всіх компактних груп Лі.
• Як дійсний многовид $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$ є дифеоморфним добутку $\operatorname {Sp} (n)\times \mathbb {R} ^{n(2n+1)}.$

Основні властивості груп $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )$, $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$ і $\operatorname {Sp} (n)$ подані у таблиці нижче:

	Матриці	Група Лі	Dim/ℝ	Dim/ℂ	Компактність	π1
Sp(2n,ℝ)	ℝ	дійсна	n(2n + 1)	–		ℤ
Sp(2n,ℂ)	ℂ	комплексна	2n(2n + 1)	n(2n + 1)		1
Sp(n)	ℍ	дійсна	n(2n + 1)	–	x	1

Див. також

• Симплектична матриця

Посилання

• "Symplectic group" [Архівовано 6 квітня 2016 у Wayback Machine.], Encyclopedia of Mathematics

Література

• Arnold, V. I. (1989), Mathematical Methods of Classical Mechanics, Graduate Texts in Mathematics, т. 60 (вид. second), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96890-3
• Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222, Springer-Verlag, ISBN 0-387-40122-9
• Fulton, W.; Harris, J. (1991), Representation Theory, A first Course, Graduate Texts in Mathematics, т. 129, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8.
• Goldstein, H. (1980). Chapter 7. Classical Mechanics (вид. 2nd). Reading MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Lee, J. M. (2003), Introduction to Smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics, т. 218, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95448-1
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0 19 859683 9