Спектр кільця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Спектр кільцямножина простих власних ідеалів кільця R. Зазвичай на спектрі задається топологія Зариського. Іноді розглядають максимальний спектр — підпростір простору , що складається із замкнутих точок.

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Простір несе пучок локальних кілець , званий структурним пучком. Для точки шар пучка над — це локалізація кільця R щодо .
  • Для ненільпотентного елементу нехай , де . Тоді простори D(f) і , де — локалізація R відносно f, є ізоморфними. Множини D(f) називаються головними відкритими множинами. Вони утворюють базис топологічного простору .
  • Точка замкнута тоді і тільки тоді, коли максимальний ідеал кільця R.
  • Зіставляючи точці її замикання в , одержується взаємно однозначна відповідність між точками простору і множиною замкнутих незвідних підмножин в .
  • Простір є квазікомпактним, але, як правило, не є гаусдорфовим. Розмірністю простору називається найбільше n, для якого існує послідовність відмінних замкнутих незвідних множин .
  • Багато властивостей кільця R можна охарактеризувати в термінах топологічного простору . Наприклад кільце R нетерове тоді і тільки тоді, коли нетеровий простір; простір є незвідним тоді і тільки тоді, коли кільце R/N є областю цілісності; розмірність збігається з розмірністю Круля кільця R і т.д.
  • Для кожної підмножини яка є одночасно відкритою і замкнутою у топології Зариського існує єдиний ідемпотент для якого . Таким чином одержується бієкція між підмножинами що є одночасно відкритими і замкнутими і ідемпотентами .
  • Нехай де і є відкритими (і, відповідно, також замкнутими) підмножинами. Тоді для якого і

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]