Теорема Віталі (комплексний аналіз)

Теорема Віталі — твердження у комплексному аналізі про властивості рівномірно обмеженої послідовності голоморфних функцій. Теорема названа на честь італійського математика Джузеппе Віталі .

Твердження теореми

Якщо послідовність функцій $f_{n}$ голоморфних в області $\Omega$ є рівномірно обмежена на компактних підмножинах $\Omega$ і для всіх $z,$ що належить підмножині $E\subset \Omega ,$ що має граничну точку всередині $\Omega$ існує границя $\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)$ то $f_{n}$ є рівномірно збіжною на компактних підмножинах $\Omega$ до функції $f,$ що є голоморфною на $\Omega .$

Зауваження. Аналог теореми для функцій багатьох змінних є невірним. Наприклад можна взяти за $\Omega$ — бікруг із змінними $z,w$ і розглянути послідовність функцій $f_{n}(z,w)=(-1)^{n}z^{n}.$

Доведення

Припустимо, що послідовність $f_{n}$ не є збіжною в деякій точці $z_{0}\in \Omega .$ Тоді з послідовності чисел $f_{n}(z_{0})$ можна виділити дві підпослідовності, що збігаються до різних чисел $w_{1}$ і $w_{2}.$ Нехай відповідні підпослідовності функцій будуть $f_{n_{k}}$ і $f_{n_{l}}.$

Послідовності $f_{n_{k}}$ і $f_{n_{l}}$ є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах $\Omega$ і тому, згідно теореми Монтеля з них можна виділити нові підпослідовності $f_{n_{s}}$ і $f_{n_{t}},$ що рівномірно на компактних підмножинах $\Omega$ збігаються до функцій $f_{1}^{*}(z)$ і $f_{2}^{*}(z).$ Згідно теореми Вейєрштраса ці функції є голоморфними на $\Omega$. Оскільки $\lim _{s\to \infty }f_{n_{s}}(z_{0})=w_{1}\neq w_{2}=\lim _{t\to \infty }f_{n_{t}}(z_{0})$ то також $f_{1}^{*}(z)\neq f_{2}^{*}(z).$ Але послідовності $f_{n_{s}}(z)$ і $f_{n_{t}}(z),$ як підпослідовності з $f_{n}(z),$ збігаються на всіх точках $z\in E$ до однакових границь, тож $f_{1}^{*}(z)=f_{2}^{*}(z)$ для всіх $z\in E.$ Але $E$ має граничну точку всередині $\Omega$ і тому, згідно теореми про рівність $f_{1}^{*}(z)=f_{2}^{*}(z).$ Одержане протиріччя доводить, що послідовність $f_{n}(z)$ є збіжною в усій області $\Omega .$ Рівномірна збіжність $f_{n}$ на компактних підмножинах $\Omega$ випливає із теореми Монтеля.

Посилання

• Vitali's Theorem on convergence of holomorphic functions на сайті MathOverflow

Див. також

• Теорема Монтеля

Література

• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд. — М., 1966. — С. 56 — 60.