Теорема Гурвіца — результат теорії чисел, про наближення ірраціональних чисел раціональними. Теорема була доведена Адольфом Гурвіцем у 1891 році.
Для будь-якого додатного дійсного числа
і ірраціонального числа
існує нескінченна кількість взаємно простих цілих чисел
таких, що
.
Натомість для будь-якого числа
існує ірраціональне число
таке, що нерівність
виконується лише для скінченної кількості взаємно простих цілих чисел
.
Можна вважати, що
.
Розглянемо ряд Фарея порядку N і
і
два його послідовні члени для яких
. Можна вважати, що
або
. Справді, якщо
, то
і тому ряд Фарея
можна замінити на
, а одне з чисел
чи
на
.
Позначаючи
, таким чином
або
. В будь-якому випадку
, оскільки
.
Звідси
.
З цієї нерівності отримуємо
.
Таким чином один із інтервалів
або
містить
і відповідно одне з чисел
або
задовольняє умову теореми.
Позначаючи це число
маємо
і оскільки з властивостей рядів Фарея
для послідовних членів ряду
то звідси
. Оскільки число
було довільним (в процесі доведення його можливо замінено на деяке більше число), то обираючи різні такі числа ми отримаємо нескінченну кількість дробів
, що задовольняють умови теореми.
Нехай
, де
і
. Припустимо, що
.
Це можна переписати як рівність
, де
. Після перегрупування доданків і піднесення до квадрату одержуємо
. Якщо розглянути
як многочлен від
, то
. Оскільки
і
є цілими числами і
це неможливо і тому
.
Оскільки
то
, або
.
Тобто натуральне число
може мати лише скінченну кількість значень. Тоді
теж може приймати скінченну кількість значень.