Теорема Планшереля

Теоремою Планшереля у гармонічному аналізі називається твердження про властивості функцій дійсної змінної і їх перетворень Фур'є. Теорема доведена швейцарським математиком Мішелем Планшерелем у 1910 році.

Твердження теореми

Якщо комплекснозначна функція f, визначена на множині дійсних чисел належить просторам $L^{1}(\mathbb {R} )$ і $L^{2}(\mathbb {R} )$, тоді її перетворення Фур'є, яке є комплекснозначною функцією дійсної змінної, що визначається як:

${\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$

теж є функцією із $L^{2}(\mathbb {R} )$. До того ж виконується формула Планшереля — Персеваля:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,$

де $f,g$ є двома функціями, що задовольняють вказані умови, а ${\widehat {f}},{\widehat {g}}$ — їх перетвореннями Фур'є.

Зокрема:

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi$.

Одержані таким чином функції ${\widehat {f}}$ утворюють щільну підмножину у $L^{2}(\mathbb {R} )$ і відображення $f\to {\widehat {f}}$ із простору функцій $L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$ можна продовжити до унітарного оператора на просторі $L^{2}(\mathbb {R} )$.

Доведення формули Планшереля — Персеваля

У випадку коли $f,g$ належать деякому хорошому класу функцій, наприклад є функціями Шварца, можна дати просте доведення формули за допомогою оберненого перетворення Фур'є. У цьому випадку

$g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {g}}(\xi )e^{2\pi i\xi x}\,d\xi$

і з властивостей комплексного спряження також

${\overline {g(x)}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}e^{-2\pi i\xi x}\,d\xi .$

Тоді

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}e^{-2\pi i\xi x}\,d\xi \right)dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}e^{-2\pi i\xi x}\,d\xi dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}e^{-2\pi i\xi x}\,dxd\xi \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx\right){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}d\xi \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .\end{aligned}}$

Див. також

• Перетворення Фур'є
• Теорема Персеваля