Теорема Скорохода про вкладення

У математиці, зокрема в теорії ймовірностей, під Теоремою Скорохода про вкладення розуміють одну з двох або обидві теореми, які дають можливість подати сукупність випадкових величин у формі Вінерівського процесу визначеного на сукупності марківських моментів часу. Обидві теореми названі на честь українського математика Анатолія Володимировича Скорохода.

Перша теорема Скорохода про вкладення

Нехай $X$ — дійсно-значна випадкова величина з математичним сподіванням рівним 0 і скінченною дисперсією; позначимо $\displaystyle W$ — стандартний дійснозначний Вінерівський процес (броунівський рух). Тоді існує марківський момент часу $\displaystyle \tau$ (відносно природної фільтрації породженої вінерівським процесом $\displaystyle W$), такий що $\displaystyle W_{\tau }$ має закон розподілу той самий, що і в.в. $X$,

$\mathbb {E} [\tau ]=\mathbb {E} [X^{2}]$,

а також

$\mathbb {E} [\tau ^{2}]\leqslant 4\mathbb {E} [X^{4}].$

Друга теорема Скорохода про вкладення

Нехай $\displaystyle X_{1},X_{2},\dots$ — послідовність незалежних однаково-розподілених випадкових величин, з нульовим математичним сподіванням і скінченною дисперсією, і нехай

$S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.$

Тоді існує неспадна послідовність марківських моментів часу $\displaystyle \tau _{1},\tau _{2},\dots$ така що $\displaystyle W_{\tau _{n}}$ має той самий сукупний розподіл що й частинні суми $\displaystyle S_{n}$ і $\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}-\tau _{1},\tau _{3}-\tau _{2},\dots$ є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами з наступною властивістю

$\mathbb {E} [\tau _{n}-\tau _{n-1}]=\mathbb {E} [X_{1}^{2}]$

і

$\mathbb {E} [(\tau _{n}-\tau _{n-1})^{2}]\leq 4\mathbb {E} [X_{1}^{4}].$

Значення для фінансової математики і фінансів

Теореми Скорохода мають попереджувальний характер для моделювання фінансових даних. Конкретніше, якщо маємо деяку модель фінансових даних, що змодельована деяким процесом і далі для практичного застосування ми збираємо дані для цього процесу за деяким стохастичним принципом (наприклад трансакція за трансакцією), то як не дивно розподіл зібраних даних суттєво відрізняється від розподілу закладеного в моделі.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Анатолія Скорохода

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — 2-е. — Москва : Наука, 1977. — 567 с.(рос.)
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2. (Theorems 37.6, 37.7)