Теорема Шарковського
Теоре́ма Шарко́вського — теорема з теорії динамічних систем, доведена в 1964 році Олександром Миколайовичем Шарковським. Теорема була першим загальним результатом теорії динамічних систем, при ітеруванні відображень відрізка в себе.
Формулювання теореми[ред. | ред. код]
Розглянемо порядок на множині натуральних чисел, який часто називають порядком Шарковського:
▶ ▶ ▶ ▶ ▶ ▶ ▶
▶ · ▶ · ▶ · ▶ · ▶ ▶
▶ · ▶ · ▶ · ▶ · ▶ ▶
▶ · ▶ · ▶ · ▶ · ▶
▶ ▶ ▶ ▶ ▶ ▶
Нехай у неперервної функції на відрізку → є цикл періоду (тобто існує такий, що , але ≠ , де — композиція функції ), тоді у цієї функції є цикли усіх періодів, які менші ніж в сенсі порядку Шарковського. Найбільшими елементами в порядку Шарковського є непарні числа. Тобто наявність у такого відображення циклу періоду 3 гарантує існування циклу будь-якого іншого періоду. А існування циклу періоду 4 може гарантувати лише існування циклу періоду 2.
Частинний випадок[ред. | ред. код]
Будемо казати, що відрізок покриває відрізок при неперервному відображенні якщо . Будемо позначати це як .
Лема 1[ред. | ред. код]
Якщо , то існує : . Дане твердження елементарно випливає з теореми про проміжне значення функції. розглянемо функцію . З того, що відрізок покриває себе випливає, що існує значення і таке значення , тоді , а , а отже існує значення : .
Лема 2[ред. | ред. код]
Якщо , то існує відрізок : .
Справедливість цієї леми очевидна з рисунку. В силу властивостей функцій, неперервних на компакті, завжди можна обрати пару точок і , як показано на малюнку. Відрізок і буде шуканим відрізком
Лема 3[ред. | ред. код]
Нехай для множини відрізків виконується тоді існує такий відрізок .
Доведення. З того, що випливає, що існує . Далі , а значить існує , отже , а тоді згідно леми 2 існує . Таким чином ця лема доведена для трьох відрізків. Для довільної більшої кількості доведення продовжується за індукцією.
Випадок циклу періоду 3[ред. | ред. код]
Доведемо, що існування циклу періоду 3 забезпечує існування циклу будь-якого іншого періоду. Розглянемо траєкторію циклу періоду 3, утворену точками , як зображено на рисунку. Ця траєкторія утворює два відрізки . Зауважимо, що це єдиний можливий спосіб утворення циклу періоду 3, з точністью до симетрії.
Неважко бачити, що для даної траєкторії виконується наступне: , оскільки початок переходить в початок , а кінець в кінець . З аналогічних міркувань видно, що і . Цю ситуацію зручно зобразити за допомогою графу
Отже можна розглянути ланцюжок відрізків, що накривають один одного: , де відрізок входить раз. Тоді з леми 3 випливає, що існує відрізок . А це означає, що , а значить, це відображення має нерухому точку: (лема 1). А отже знайдено точку, яка має період при відображенні . Те, що цей період є найменшим періодом даної точки легко зрозуміти з вигляду ланцюжка накриттів. Ця траєкторія починається у відрізку і після цього жодного разу не повертається в цей відрізок.
Цей частинний випадок теореми Шарковського нерідко називають теоремою Лі-Йорка. Американські вчені Лі та Йорк в 1975 році опублікували статтю Period three implies chaos (період три означає хаос). В якій довели, що існування циклу періоду 3 в такій динамічній системі гарантує існування циклу будь-якого періоду. А також, що відрізняє їхню роботу від роботи Шарковського, довели, що в такому випадку динамічна система має ще і хаотичні траєкторії, тобто існує континуум точок, які при ітеруванні відображення відрізку не переходять в себе ні за яку кількість ітерацій. Причому ці траєкторії є в деякому сенсі нестійкими.
Теорема про реалізацію[ред. | ред. код]
Другою не менш важливою частиною цієї теоерми є так звана теорема Шарковського про реалізацію. Перша частина теореми Шарковського говорить про те, що якщо в системі є цикл одного періоду, то це гарантує існування цикла й інших періодів. Але вона нічого не каже про те, чи бувають функції з такими періодами, які припускаються в теоремі.
Теорема Шарковського про реалізацію стверджує, що для кожного натурального числа знайдеться така функція , що вона має точку періоду , але не має жодної точки періоду ▶ .
Розглянемо приклад функції , яка має період 5, а значить і всі інші періоди, які менші за 5 в сенсі порядку Шарковського, але не має періоду 3. Покладемо . Проміжні значення доповнемо за лінійністю. Тоді . Отже, на проміжку немає нерухомої точки відображення . Аналогічно два інші відрізка теж не містять нерухомих точок і . Але бачимо, що , тобто на цьому відрізку може бути точка періоду 3. Нехай нерухома точка відображення . Тоді . Якщо тоді , що неможливо, адже точка періоду 3. Отже . Аналогічно . Якщо то , що теж неможливо. Отже . Таким чином ми маємо, що вся траєкторія циклу періоду 3 лежить на відрізку . Зазначимо тепер, що на даному проміжку функція є лінійною . А така функція може мати лише одну нерухому точку - це точка і це нерухома точка відображення , а значить не точка періоду 3.
Див. також[ред. | ред. код]
Посилання[ред. | ред. код]
- Теорема Шарковського на MathWorld [Архівовано 1 грудня 2008 у Wayback Machine.]
- Теорема Шарковського на PlanetMath
Література[ред. | ред. код]
- Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя [Архівовано 6 грудня 2017 у Wayback Machine.] //Укр. мат. журн. 1964. Т.16, № 1. — стор. 61—71. (рос.)
- Li T.-Y., Yorke J.A. Period three implies chaos [Архівовано 7 серпня 2016 у Wayback Machine.] //Amer. Math. Monthly. 1975. Vol.82. No 10. — стор. 985—992. (англ.)
- Шарковский А. Н., О циклах и структуре непрерывного отображения [Архівовано 21 липня 2017 у Wayback Machine.] //Укр. матем. журнал 1965. Т.17. стор. 101—111 (рос.)
- Misiurewicz M., Remarks on Sharkovsky's Theorem [Архівовано 6 травня 2021 у Wayback Machine.] //Amer. Math. Monthly. 1997. vol. 104. No. 9 (англ.)
- А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Спивак, В. В. Федоренко. «Динамика одномерных отображений». Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
- Ю. А. Данилов. «Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение.» Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |