Теорія акустики

Теорія акустики - це наукова область, яка стосується опису звукових хвиль . Це походить від динаміки рідини . Дивіться також акустику для інженерного підходу.

Для звукових хвиль будь-якої величини порушення швидкості, тиску та щільності ми маємо

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot (\rho '\mathbf {v} )&=0\qquad {\text{(Збереження масси)}}\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\qquad {\text{(Рівняння руху)}}\end{aligned}}$

У випадку, коли коливання швидкості, щільності та тиску невеликі, ми можемо наблизити їх як

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Де $\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)$ - збурена швидкість рідини, $p_{0}$ - тиск рідини в спокої, $p'(\mathbf {x} ,t)$ - збурений тиск системи як функція простору та часу, $\rho _{0}$ - щільність рідини в спокої, і $\rho '(\mathbf {x} ,t)$ - дисперсія щільності рідини в просторі та в часі.

У випадку, коли швидкість є ірротаційною ( $\nabla \times \mathbf {v} =0$ ), ми маємо рівняння акустичної хвилі, яке описує систему:

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi =0$

Де ми маємо

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\c^{2}&=({\frac {\partial p}{\partial \rho }})_{s}\\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}$

Виведення для середовища в стані спокою

Починаючи з рівняння безперервності та рівняння Ейлера:

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \rho \mathbf {v} &=0\\\rho {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p&=0\end{aligned}}$

Якщо взяти невеликі збурення постійного тиску та щільності:

${\begin{aligned}\rho &=\rho _{0}+\rho '\\p&=p_{0}+p'\end{aligned}}$

Тоді рівняння системи такі

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho ')+\nabla \cdot (\rho _{0}+\rho ')\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla (p_{0}+p')&=0\end{aligned}}$

Зауважуючи, що рівноважний тиск і щільність постійні, це спрощує до

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Рухоме середовище

Починаючи з

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {w} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {w} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {w} \cdot \nabla )\mathbf {w} +\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Ми можемо змусити ці рівняння працювати для рухомого середовища, встановивши $\mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v}$, де $\mathbf {u}$ - постійна швидкість, з якою рухається вся рідина до того, як її збурить (еквівалентно рухомому спостерігачу) і $\mathbf {v}$ - швидкість рідини.

У цьому випадку рівняння виглядають дуже схожими:

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Зверніть увагу, що при $\mathbf {u} =0$ у нас буде рівняння в спокої.

Лінеаризовані хвилі

Починаючи з наведених вище рівнянь руху середовища, що перебуває в спокої:

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Давайте зараз візьмемо $\mathbf {v} ,\rho ',p'$ щоб усі мали невеликі кількості.

У тому випадку, якщо ми зберігаємо доданки до першого порядку, для рівняння неперервності маємо $\rho '\mathbf {v}$ термін дорівнює 0. Це аналогічно стосується збурення щільності, помноженого на похідну від часу швидкості. Більше того, просторові компоненти похідного матеріалу дорівнюють 0. Таким чином, ми, переставляючи рівноважну щільність:

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Далі, враховуючи, що наша звукова хвиля виникає в ідеальній рідині, рух є адіабатичним, і тоді ми можемо пов’язати малу зміну тиску з малою зміною щільності

$p'=({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\rho '$

За цієї умови ми бачимо, що зараз маємо

${\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Визначення швидкості звуку системи:

$c\equiv {\sqrt {({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}}}$

Все стає

${\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Для ірротаційних рідин

У тому випадку, якщо рідина є ірротаційною, тобто $\nabla \times \mathbf {v} =0$, тоді ми можемо писати $\mathbf {v} =-\nabla \phi$ і таким чином запишемо наші рівняння руху як

${\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi &=0\\-\nabla {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Друге рівняння показує

$p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}$

І використання цього рівняння у рівнянні безперервності, говорить нам про таке

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi =0$

Це спрощує до

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi =0$

Таким чином, потенціал швидкості $\phi$ підкоряється хвильовому рівнянню в межі малих збурень. Граничні умови, необхідні для вирішення потенціалу, походять від того, що швидкість рідини повинна бути 0 нормальною до нерухомих поверхонь системи.

Беручи похідну від часу цього хвильового рівняння і помножуючи всі сторони на не збурену щільність, а потім використовуючи той факт, що $p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}$ говорить нам те

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p'}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p'=0$

Так само ми це бачили $p'=({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\rho '=c^{2}\rho '$ . Таким чином, ми можемо помножити вищевказане рівняння і побачити, що

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\rho '=0$

Таким чином, потенціал швидкості, тиск і щільність підкоряються хвильовому рівнянню. Більше того, нам потрібно вирішити лише одне таке рівняння, щоб визначити всі інші три. Зокрема, ми маємо

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}$

Для рухомого середовища

Знову ж таки, ми можемо вивести межу малого збурення для звукових хвиль в рухомому середовищі. І знову, починаючи з

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Ми можемо лінеаризувати їх у

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Для ірротаційних рідин у рухомому середовищі

Враховуючи, що ми це бачили

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Якщо ми зробимо попередні припущення про те, що рідина ідеальна, а швидкість ірраторна, ми маємо

${\begin{aligned}p'&=({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\rho '=c^{2}\rho '\\\mathbf {v} &=-\nabla \phi \end{aligned}}$

За цих припущень, наші лінеаризовані рівняння звуку стають

${\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'&=0\\-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \phi )-(\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Що важливо, оскільки $\mathbf {u}$ є константою, ми маємо $(\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]=\nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]$, а друге рівняння говорить нам про те, що

${\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'=\nabla [{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]$

Або просто так

$p'=\rho _{0}[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]$

Тепер, коли ми використовуємо це відношення з тим, що ${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'=0$, ми периходимо до

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {u} \cdot \nabla \phi )+{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]=0$

Ми можемо написати це у звичній формі як

$[{\frac {1}{c^{2}}}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )^{2}-\nabla ^{2}]\phi =0$

Це диференціальне рівняння має вирішуватися з відповідними граничними умовами. Зверніть увагу, при $\mathbf {u} =0$ ми маємо хвильове рівняння. Незважаючи на це, після вирішення цього рівняння для рухомого середовища ми маємо

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \end{aligned}}$

Дивитися також

• Звук
• Фур’є-аналіз

Список літератури

• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1984). Fluid Mechanics (вид. 2nd). ISBN 0-7506-2767-0.
• Fetter, Alexander; Walecka, John (2003). Fluid Mechanics (вид. 1st). ISBN 0-486-43261-0.