Топологія подвоєного початку координат

Топологія подвоєного початку координат є прикладом топології, заданої на $\mathbb {R} ^{2}$ з додаванням додаткової точки 0*.

Побудова

Нехай $0^{*}\notin \mathbb {R} ^{2}$ і $X=\mathbb {R} ^{2}\cup \{0^{*}\}$. Для будь-якої точки x з X, відмінної від 0 та 0*, околами є звичайні околи з евклідової топології на $\mathbb {R} ^{2}\backslash \{0\}$.

Для точок 0 та 0* як бази систем околів візьмемо відповідно множини

$N(0,n)=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}<1/n^{2},\ y>0\}\cup \{0\}$

та

$N(0^{*},n)=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}<1/n^{2},\ y<0\}\cup \{0^{*}\}$, $n\in \mathbb {N}$.

Властивості

• X задовільняє аксіому відокремлюваності T₂, але не T_2½ і вище.
• X не є компактним, паракомпактним і локально компактним, однак задовольняє другу аксіому зліченності.
• X дугово зв’язний.