Трикутник Шварца

Трикутник Шварца — сферичний трикутник, який можна використати для створення мозаїки на сфері, можливо з накладенням, шляхом відображення трикутника відносно сторін. Трикутники класифіковано в праці німецького математика Карла Шварца 1873 року.

Трикутники Шварца можна визначити у загальнішому вигляді як мозаїки на сфері, евклідовій чи гіперболічній площині. Кожен трикутник Шварца на сфері визначає скінченну групу, тоді як у евклідовій площині вони визначають нескінченні групи.

Трикутник Шварца подають трьома раціональними числами (p q r), кожне з яких задає кут у вершині. Значення n/d означає, що кут у вершині трикутника дорівнює d/n розгорнутого кута. 2 означає прямокутний трикутник. Якщо ці числа цілі, то трикутник називають трикутником Мебіуса і він відповідає мозаїці без перекриттів, а групу симетрії називають групою трикутника. На сфері є 3 трикутники Мебіуса і ще одне однопараметричне сімейство. На площині є три трикутники Мебіуса, а в гіперболічному просторі є сімейство трикутників Мебіуса з трьома параметрами і немає виняткових об'єктів.

Простір рішень

Фундаментальна область у вигляді трикутника (p q r) може існувати в різних просторах залежно від суми обернених величин цих цілих чисел:

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}>1$ — сфера

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=1$ — евклідова площина

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1$ — гіперболічна площина

Простіше кажучи, сума кутів трикутника в евклідовій площині дорівнює π, тоді як на сфері сума кутів більша за π, а на гіперболічній площині сума менша за π.

Графічне подання

Трикутник Шварца подають графічно як трикутний граф. Кожна вершина відповідає стороні (дзеркалу) трикутника Шварца. Кожне ребро позначено раціональним значенням, що відповідає порядку відображення, яке дорівнює π/зовнішній кут.

Трикутник Шварца (p q r) на сфері

Граф трикутника Шварца

Ребра з порядком 2 подають перпендикулярні дзеркала, які в цій діаграмі можна опускати. Діаграма Коксетера — Динкіна подає ці трикутні графи без ребер порядку 2.

Для спрощення запису можна використати групу Коксетера: (p q r) для циклічних графів, (p q 2) = [p,q] для прямокутних трикутників та (p 2 2) = [p]×[].

Список трикутників Шварца

Трикутники Мебіуса на сфері

(2 2 2) або [2,2]	(3 2 2) або [3,2]	…
(3 3 2) або [3,3]	(4 3 2) або [4,3]	(5 3 2) або [5,3]

Трикутники з цілими числами, також звані трикутниками Мебіуса, включають однопараметричне сімейство і три виняткових випадки:

1. [p ,2] або (p 2 2) — діедрична симетрія,
2. [3,3] або (3 3 2) — тетраедрична симетрія,
3. [4,3] або (4 3 2) — октаедрична симетрія,
4. [5,3] або (5 3 2) — ікосаедрична симетрія,

Трикутники Шварца на сфері, згруповані за щільністю

Трикутники Шварца (p q r), згруповані за щільністю:

Щільність	Трикутник Шварца
1	(2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n)
d	(2 2 n/d)
2	(3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3)
3	(2 3/2 3), (2 5/2 5)
4	(3 4/3 4), (3 5/3 5)
5	(2 3/2 3/2), (2 3/2 4)
6	(3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7	(2 3 4/3), (2 3 5/2)
8	(3/2 5/2 5)
9	(2 5/3 5)
10	(3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
11	(2 3/2 4/3), (2 3/2 5)
13	(2 3 5/3)
14	(3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16	(3 5/4 5/2)
17	(2 3/2 5/2)
18	(3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19	(2 3 5/4)
21	(2 5/4 5/2)
22	(3/2 3/2 5/2)
23	(2 3/2 5/3)
26	(3/2 5/3 5/3)
27	(2 5/4 5/3)
29	(2 3/2 5/4)
32	(3/2 5/45/3)
34	(3/2 3/2 5/4)
38	(3/2 5/4 5/4)
42	(5/4 5/4 5/4)

Трикутники на евклідовій площині

(3 3 3)

(4 4 2)

(6 3 2)

Щільність 1:

1. (3 3 3) — 60-60-60 (рівносторонній)
2. (4 4 2) — 45-45-90 (рівнобедрений прямокутний)
3. (6 3 2) — 30-60-90
4. (2 2 ∞) — 90-90-0 «трикутник»

Щільність 2:

1. (6 6 3/2) — 120-30-30 трикутник

Щільність ∞:

1. (4 4/3 ∞)
2. (3 3/2 ∞)
3. (6 6/5 ∞)

Трикутники на гіперболічній площині

(7 3 2)	(8 3 2)	(5 4 2)
(4 3 3)	(4 4 3)	(∞ ∞ ∞)
Фундаментальні області трикутників (p q r)

Щільність 1:

• (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) … (2 3 ∞)
• (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) … (2 4 ∞)
• (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) … (2 5 ∞)
• (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) … (2 6 ∞)
• (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) … (3 3 ∞)
• (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) … (3 4 ∞)
• (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) … (3 5 ∞)
• (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) … (3 6 ∞)
• . . .
• (∞ ∞ ∞)

Щільність 2:

• (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) … (3/2 ∞ ∞)
• (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) … (5/2 ∞ ∞)
• (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) … (7/2 ∞ ∞)
• (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) … (9/2 ∞ ∞)
• . . .

Щільність 3:

• (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11). . .

Щільність 4:

• (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11). . .

Щільність 6:

• (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) . . .

Щільність 10:

• (3 7/2 7)

Трикутник Шварца (2 3 7) є найменшим гіперболічним трикутником Шварца і становить особливий інтерес. Його група трикутника (або, точніше, група фон Діка ізометрій з індексом 2, що зберігають орієнтацію) є групою трикутників (2,3,7), яка є універсальною групою для всіх груп Гурвиця — максимальних груп ізометрій ріманових поверхонь. Всі групи Гурвіца є фактор-групами групи трикутників (2,3,7) і всі поверхні Гурвіца покриваються мозаїками з трикутників Шварца (2,3,7). Найменша група Гурвіца — це проста група порядку 168, друга найменша неабелева проста група, яка ізоморфна PSL(2,7) і асоційована з поверхнею Гурвіца роду 3 — це квартика Кляйна.

Трикутник (2 3 8) замощує поверхню Больци, високосиметричну (але яка не є поверхнею Гурвіца) поверхню роду 2.

Трикутники з одним нецілим кутом, наведені вище, вперше класифікував Ентоні В. Кнапп у статті 1968 року. Список трикутників із кількома нецілими кутами наведено в статті Клименка та Сакума 1998 року.

Див. також

• Список однорідних многогранників за породжувальними трикутниками Шварца
• Символ Вітгоффа
• Побудова Вітгоффа
• Однорідний многогранник
• Неопуклий однорідний многогранник
• Щільність політопа
• Тетраедр Гурса
• Правильні однорідні мозаїки
• Однорідні мозаїки на гіперболічній площині

Література

• Coxeter H. C. M. . Table 3: Schwarz’s Triangles // Regular Polytopes (book). — Third edition. — Dover Edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
• Klimenko E., Sakuma M. . Two-generator discrete subgroups of Isom(H²) containing orientation-reversing elements // Geometriae Dedicata. — 1998. — Т. 72, no. 3. — DOI:10.1023/A:1005032526329.
• Knapp A. W. . Doubly generated Fuchsian groups // Michigan Mathematics Journal. — 1968. — Т. 15, no. 3 (4 червня).
• Schwarz H. A. . Über diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1873. — ISSN 0075-4102. — DOI:10.1515/crll.1873.75.292.  Зауважимо, що Коксетер посилається на цю статтю як «Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe», тобто, за скороченим заголовком, використаним у колонтитулах.
• Wenninger, Magnus J. . An introduction to the notion of polyhedral density // Spherical models. — CUP Archive, 1979. — P. 132—134. — ISBN 978-0-521-22279-2.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Schwarz triangle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• KlitzingPolytopes The general Schwarz triangle (p q r) and the generalized incidence matrices of the corresponding polyhedra