Трисектриса Маклорена

Трисектриса Маклорена. Показано трисекцію кута

Трисектри́са Маклоре́на — кубика, яку можна використати для трисекції кута. Її можна визначити як геометричне місце точок перетину двох прямих, кожна з яких обертається рівномірно навколо двох різних точок (полюсів) з відношенням кутових швидкостей 1:3, при цьому спочатку прямі збігаються з прямою, що проходить через ці полюси. Узагальнення цієї побудови називають січною Маклорена. Січну названо на честь Коліна Маклорена, який досліджував криву 1742 року.

Рівняння

Нехай дві прямі обертаються навколо точок $P=(0,0)$ і $P_{1}=(a,0)$, так що пряма, що обертається навколо $P$, утворює з віссю $x$ кут $\theta$, а та, що обертається навколо $P_{1}$, утворює кут $3\theta$. Нехай $Q$ — точка їх перетину, тоді кут між прямими в точці $Q$ дорівнює $2\theta$. За теоремою синусів

${r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }$, так що в полярній системі координат це дасть

$r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )$.

Таким чином, крива належить до сімейства конхоїд Слюза.

У прямокутній системі координат вигляд рівняння такий:

$2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})$.

Якщо початок координат зсунути в $(a,0)$, то виведення, подібне до наведеного, показує, що рівняння в полярних координат перетворюється на

$r={\frac {a}{2\cos {\theta \over 3}}}$

і крива стає прикладом епіспіралі.

Властивість трисекції

Для заданого кута $\phi$ малюємо промінь з $(a,0)$ так, щоб кут з віссю $x$ становив $\phi$. Малюємо промінь з початку координат у точку перетину першого променя з кривою. За побудовою кривої, кут між другим променем і віссю $x$ дорівнює $\phi /3$.

Чудові точки і властивості

Крива має перетин з віссю x у точці $3a \over 2$ і подвійну нерухому точку в початку координат. Вертикальна пряма $x={-{a \over 2}}$ є асимптотою. Крива перетинає пряму $x=a$ в точках $(a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})$, що відповідають трисекції прямого кута. Як основна кубика, вона має рід нуль.

Зв'язок з іншими кривими

Трисектрису Маклорена можна визначити як конічний перетин трьома способами. А саме:

• Вона є інверсією гіперболи відносно одиничного кола

$2x=a(3x^{2}-y^{2})$.

• Вона є цисоїдою кола

$(x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}$

і прямої $x={a \over 2}$ відносно початку координат.

• Вона є подерою параболи відносно початку координат

$y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)$.

До того ж,

• Інверсія відносно точки $(a,0)$ є трисектрисою равлика.
• Трисектриса Маклорена пов'язана з декартовим листом афінним перетворенням.

Література

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — 21 травня. — С. 36, 95, 104—106. — ISBN 0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. Трисектриса Маклорена(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Посилання

• Трисектриса Маклорена у списку знаменитих кривих MacTutor
• Трисектриса Маклорена на 2dcurves.com
• Трисектриса Маклорена в Наочному словнику плоских кривих
• Трисектриса Маклорена на сайті Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Loy, Jim «Trisection of an Angle», Part VI