Формальний степеневий ряд

Формальний степеневий ряд — формальний алгебраїчний вираз виду:

$F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},$

в якому коефіцієнти ${a_{n}}$ належать деякому кільцю ${R}$. На відміну від степеневих рядів у аналізі формальним степеневим рядам не надається числових значень і відповідно не має змісту збіжність таких рядів для числових аргументів. Формальні степеневі ряди досліджуються у алгебрі, топології, комбінаториці.

Вступ

Формальний степеневий ряд можна уявити як об'єкт, схожий на поліном, але з нескінченною кількістю членів. Як альтернативу, для тих, хто знайомий зі степеневими рядами (або рядами Тейлора), можна розглядати формальний степеневий ряд як степеневий ряд, у якому ми ігноруємо питання збіжності, не припускаючи, що змінна X позначає будь-яке числове значення (навіть невідоме). Наприклад, розглянемо ряд

$A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .$

Якби ми вивчали це як степеневий ряд, то до його властивостей, наприклад, входило б те, що його радіус збіжності дорівнює 1. Однак, як формальний степеневий ряд, ми можемо зовсім це ігнорувати; все, що має значення, це послідовність коефіцієнтів [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Іншими словами, формальний степеневий ряд - це об'єкт, що просто записує послідовність коефіцієнтів. Цілком прийнятно розглядати формальний степеневий ряд з факторіалами [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ] в якості коефіцієнтів, навіть якщо відповідний степеневий ряд розходиться при будь-якому ненульовому значенні X.

Арифметичні дії над формальними степеневими рядами виконуються, просто уявляючи, що ряди є поліномами. Наприклад, якщо

$B=2X+4X^{3}+6X^{5}+\cdots ,$

то ми додаємо A і B почленно:

$A+B=1-X+5X^{2}-3X^{3}+9X^{4}-5X^{5}+\cdots .$

Ми можемо перемножити формальні степеневі ряди, знову ж таки, просто обробляючи їх як поліноми (дивіться, зокрема, добуток Коші):

$AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .$

Зверніть увагу, що кожен коефіцієнт у добутку AB залежить лише від скінченної кількості коефіцієнтів A та B. Наприклад, член X⁵ обчислюється як

$44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).$

З цієї причини можна множити формальні степеневі ряди, не турбуючись про звичайні питання абсолютної, умовної та рівномірної збіжності, які виникають при роботі зі степеневими рядами в контексті аналізу.

Після визначення множення для формальних степеневих рядів, ми можемо визначити мультиплікативні обернені наступним чином. Мультиплікативне обернене формального степеневого ряду A є формальний степеневий ряд C такий, що AC = 1, за умови, що такий формальний степеневий ряд існує. Виявляється, що якщо у A є мультиплікативне обернене, воно є унікальним, і ми позначаємо його як A⁻¹. Тепер ми можемо визначити ділення формальних степеневих рядів, визначивши B/A як добуток BA⁻¹, за умови, що обернене A існує. Наприклад, можна використати визначення множення вище, щоб перевірити знайому формулу

${\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .$

Важливою операцією над формальними степеневими рядами є витяг коефіцієнтів. У найпростішій формі, оператор витягу коефіцієнтів $[X^{n}]$, застосований до формального степеневого ряду $A$ в одній змінній, витягує коефіцієнт $n$-го ступеня змінної, так що $[X^{2}]A=5$ та $[X^{5}]A=-11$. Інші приклади включають

${\begin{aligned}\left[X^{3}\right](B)&=4,\\\left[X^{2}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\\\left[X^{2}Y^{3}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3,\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n},\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{aligned}}$

Аналогічно, багато інших операцій, які виконуються над поліномами, можуть бути розширені на налаштування формальних степеневих рядів, як пояснено нижче.

Кільце формальних степеневих рядів

Якщо розглядати множину всіх формальних степеневих рядів в X з коефіцієнтами в комутативному кільці R, то елементи цієї множини разом утворюють інше кільце, яке позначається як $R[[X]],$ і називається кільцем формальних степеневих рядів відносно змінної X над R.

Визначення кільця формальних степеневих рядів

$R[[X]]$ можна характеризувати абстрактно як завершення кільця поліномів $R[X]$, оснащеного певною метрикою. Це автоматично надає $R[[X]]$ структуру топологічного кільця (і навіть повного метричного простору). Але загальне конструювання завершення метричного простору є складнішим, ніж потрібно тут, і зробило б формальні степеневі ряди складнішими, ніж вони є насправді. Можливо описати $R[[X]]$ більш явно і визначити структуру кільця і топологічну структуру окремо, як наступне.

Структура кільця

Як множина, $R[[X]]$ може бути побудована як множина $R^{\mathbb {N} }$ усіх нескінченних послідовностей елементів $R$, індексованих натуральними числами (включаючи 0). Вказуючи послідовність, термін при індексі $n$ якої є $a_{n}$, як $(a_{n})$, додаємо дві такі послідовності за формулою

$(a_{n}){n\in \mathbb {N} }+(b_{n}){n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

і множимо за формулою

$(a_{n}){n\in \mathbb {N} }\times (b_{n}){n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{!n\in \mathbb {N} }.$

Цей тип добутку називається добуток Коші двох послідовностей коефіцієнтів, і є своєрідною дискретною згорткою. З цими операціями, $R^{\mathbb {N} }$ стає комутативним кільцем з нульовим елементом $(0,0,0,\ldots )$ і мультиплікативною одиницею $(1,0,0,\ldots )$.

Добуток насправді є тим самим, що використовується для визначення добутку поліномів з однією невизначеною, що натякає на використання подібної нотації. Вбудовуючи $R$ у $R[[X]]$, відправляючи будь-який (постійний) $a\in R$ до послідовності $(a,0,0,\ldots )$ і позначаючи послідовність $(0,1,0,0,\ldots )$ як $X$; тоді, використовуючи вищезазначені визначення, кожну послідовність з лише скінченною кількістю ненульових термів можна виразити через ці спеціальні елементи як

$(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i};$

це саме поліноми в $X$. Враховуючи це, цілком природно і зручно позначати загальну послідовність $(a_{n}){n\in \mathbb {N} }$ формальним виразом $\textstyle \sum {i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}$, хоча останній не є виразом, сформованим за допомогою вищезазначених операцій додавання і множення (з яких можна будувати лише скінченні суми). Ця нотаційна угода дозволяє переформулювати вищезгадані визначення як

$\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}$

та

$\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.$

це дуже зручно, але необхідно розуміти різницю між формальним підсумовуванням (просто угодою) та фактичним додаванням.

Алгебраїчні операції

В $R[[X]]$ можна наступним чином визначити додавання, множення, формальне диференціювання і формальну суперпозицію. Нехай:

$F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\qquad G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},\qquad H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.$

Тоді:

$H=F+G\iff \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}$

$H=F\,\cdot \,G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l}$

$H=F\circ G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\dots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\dots b_{k_{s}}$ (при цьому необхідно щоб $b_{0}=0$)

$H=F'\iff \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1}$

Таким чином формальні степеневі ряди утворюють кільце.

Топологія

В множині $R[[X]]$ також можна задати топологію, що породжується наступною метрикою:

$d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},\,\!$

де k найменше натуральне число таке що a_k ≠ b_k;

Можна довести, що визначені множення і додавання в цій топології є неперервними, отже формальні степеневі ряди з визначеною топологією утворюють топологічне кільце.

Оборотні елементи

Формальний ряд:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$

в R[[X]] є оборотним в R[[X]] тоді і лише тоді коли a₀ є оборотним в R. Це є необхідним оскільки вільний член добутку рівний $a_{0}b_{0}$, і достатнім, оскільки коефіцієнти тоді визначаються за формулою:

${\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}}\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i}\qquad {\text{for }}n\geq 1.\end{aligned}}$

Властивості

• Максимальними ідеалами кільця формальних степеневих рядів є ідеали M для яких M ∩ R є максимальним ідеалом в R і M є породжене X і M ∩ R.
• Якщо R є локальним кільцем, то локальним кільцем є також R[[X]]
• R — кільце Нетер, то також R[[X]] є кільцем Нетер .
• Якщо R — область цілісності, то R[[X]] також буде областю цілісності.
• Метричний простір (R[[X]], d) є повним.
• Кільце R[[X]] є компактним тоді коли кільце R є скінченним.

Див. також

• Степеневий ряд
• Генератриса

Посилання

• Формальні степеневі ряди на сайті PlanetMath.