Формула Крофтона

Формула Крофтона — класичний результат інтегральної геометрії. Пов'язує довжину кривої із середнім числом перетинів з прямими.

Названа на честь Моргана Крофтона.

Формулювання

Нехай $\gamma$ — плоска крива, яку можна спрямити. Для прямої $l$, позначимо через $n_{\gamma }(l)$ число точок, у яких $\gamma$ і $l$ перетинаются. Ми можемо параметризувати пряму $l$ напрямком $\varphi$ і відстанню $p$ від початку координат. Тоді довжина кривої $\gamma$ дорівнює

$L={\frac {1}{4}}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\,d\varphi \,dp.$

При цьому диференціальна форма

$d\varphi \wedge dp$

інваріантна відносно рухів площини. Таким чином, вона дає природну міру для інтегрування.

Джерела

• Tabachnikov, Serge (2005). Geometry and Billiards. AMS. с. 36–40. ISBN 0-8218-3919-5.
• Santalo, L. A. (1953). Introduction to Integral Geometry. с. 12—13, 54. LCC QA641.S3.