Формула Фейнмана — Каца
Формула Фейнмана-Каца, названа на честь Річарда Фейнмана і Марка Каца — формула взаємозв'язку між рівняннями частинних похідних і стохастичними процесами. З допомогою цієї формули можна розв'язувати певні типи РЧП за допомогою симуляції траєкторій стохастичних процесів. Навпаки, стохастичні рівняння частинних похідних можна розв'язувати методами звичайних РЧП без залучення стохастичних методів.
Формулювання[ред. | ред. код]
Нехай маємо РЧП:
і умову
де - відомі функції, — параметр і невідома функція. Це рівняння відоме під назвою рекурентне рівняння Колмогорова (одновимірне). Тоді формула Фейнмана-Каца полягає в тому, що розв'язок цієї задачі записується як математичне сподівання:
де — процес Іто, що описується рівнянням
де — Вінерівський процес (іноді можна зустріти назву Броунівський рух) і початкова умова для є . Це математичне сподівання можна обчислити (наближено з певною точністю) використовуючи Метод Монте-Карло чи квазі Монте-Карло методи.
Доведення[ред. | ред. код]
Застосувавши лему Іто до невідомого процесу можна отримати
Вираз у перших дужках є РЧП згадане вище і тому цей вираз рівний нулю за припущенням. Тепер проінтегрувавши обидві частини рівняння отримаємо
Після тривіальних перетворень візьмемо математичне сподівання обидвох частин рівності:
Оскільки матсподівання інтеграла Іто по Вінерівському процесі дорівнює нулю отримаємо бажаний результат:
Див. також[ред. | ред. код]
Література[ред. | ред. код]
- Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М. : Мир, 2003. — 408 с.
- Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.
- Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.