Концилія розпочав свою футбольну кар'єру у місцевому клубі «Аустрія Клагенфурт». У сезоні 1965/66 він дебютував у австрійській Бундеслізі. На момент його дебюту йому було 17 років. Чотири сезони він був головним воротарем команди, а в 1969 році перейшов у «Ваттенс». Там, у свою чергу, він грав протягом двох років.
У 1971 році Концилія став гравцем «Ваккера». Уже в 1972 році досяг першого успіху з новою командою, коли вона виграла чемпіонат Австрії. У 1973 році зробив з «Вакером» золотий дубль — чемпіонат і Кубок Австрії. Згодом, будучи гравцем цього клубу, він ще двічі ставав чемпіоном країни (1975, 1977), двічі вигравав Кубок Мітропи (1975, 1976) і тричі переможцем кубка (1975, 1978, 1979).
Влітку 1979 року Концилія перейшов в бельгійський «Андерлехт», де програв конкуренцію Жакі Мунарону і через шість місяців повернувся на батьківщину, ставши гравцем «Аустрії» (Відень). У 1981, 1984 і 1985 роках він виграв національний чемпіонат, а в 1982 — Кубок Австрії. У 1985 році закінчив свою футбольну кар'єру у віці 37 років.
Дебютував 27 вересня 1970 року в офіційних матчах у складі національної збірної Австрії в товариській зустрічі з Угорщиною (1:1).
У 1978 році його взяв тренер Гельмут Сенекович на чемпіонат світу 1978 року в Аргентині. На турнірі він зіграв у всіх 6 матчах. Через чотири роки, в 1982 році, він також був основним воротарем Австрії на чемпіонаті світу в Іспанії. Там він зіграв у 5 матчах[4]. Загалом з 1970 по 1985 рік він зіграв у збірній 84 матчі, увійшовши разом з Бруно Пеццаєм в п'ятірку гравців, що зіграли найбільше матчів за збірну Австрії[5].
Завершивши ігрову кар'єру, став тренером і у 1990–1991 роках працював з молодіжною збірною Австрії. Після цього працював тренером воротарів у клубах «Аустрія» (Відень) та «Гамба Осака», а у 1997–1998 роках очолював цей японський клуб.
1999 року нетривалий час був виконувачем обов'язків головного тренера «Аустрії» (Відень), а згодом очолював нижчоліговий австрійський клуб «Бад-Ішль».
Австрія
.svg){kind=small}
