Фундаментальна область

Фундаментальною областю групи рухів G називається така множина F точок простору, що для будь-якої точки x простору є рівно одна точка її G-орбіти в F.

Квадрат $[0,1)\times [0,1)$ є фундаментальною областю $\mathbb {R} ^{2}$ по відношенню до групи $\mathbb {Z} ^{2}$ .

Точку $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ можна записати у вигляді $(u+n,v+m)$ з $(u,v)\in [0,1)\times [0,1),(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}$ .

Якщо задано дію групи $G$ на топологічному просторі X за допомогою гомеоморфізмів, фундаментальна область для таких дій — це множина $D$ представників орбіт. Звичайно потрібно, щоб ця множина була топологічно простою і задавалася одним з кількох конкретних способів. Звичайна умова — щоб $D$ була майже відкритою множиною в тому сенсі, що $D$ має бути симетричною різницею відкритої множини в $G$ зі множиною нульової міри для деякої (квазі) інваріантної міри на $X$ . Фундаментальна область завжди містить вільну регулярну множину $U$ , відкриту множину, яка пересувається дією $G$ в незв'язні копії і майже так само, як $D$ , є орбітами. Часто потрібно, щоб $D$ було повною множиною представників суміжних класів із деякими повтореннями, але щоб повторювана частина мала нульову міру. Це звичайна ситуація в ергодичних теоріях. Якщо фундаментальна область використовується для обчислення інтеграла на $X/G$ , множина нульової міри ролі не грає.

Наприклад, якщо $X$ є евклідовим простором $\mathbb {R} ^{n}$ розмірності $n$ і $G$ — ґратка $\mathbb {Z} ^{n}$ , що діє на ній як паралельне перенесення, фактор-прострором $X/G$ буде $n$ -вимірний тор. Можна взяти за фундаментальну область $D[0,1)^{n}$ , що відрізняється від відкритої множини $(0,1)^{n}$ на множину нульової міри, або замкнутий одиничний куб $[0,1]^{n}$ , межа якого складається з точок, орбіти яких мають більше одного представника в $D$ .